序論：好文章的創(chuàng)作是一個(gè)不斷探索和完善的過(guò)程，我們?yōu)槟扑]十篇數(shù)學(xué)思維的主要類(lèi)型范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來(lái)更深刻的閱讀感受。

篇（1）

中圖分類(lèi)號(hào)：G640 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）03-0113-02

“思維類(lèi)型”是一個(gè)通用概念，大量學(xué)者都對(duì)其進(jìn)行了研究。事實(shí)上，明確區(qū)分思維的類(lèi)型對(duì)教育來(lái)說(shuō)具有重要的實(shí)際意義。為了更好地指導(dǎo)大學(xué)生的學(xué)習(xí)，增強(qiáng)他們的創(chuàng)新能力，本文從新的角度對(duì)思維類(lèi)型進(jìn)行分類(lèi)，從四種思維類(lèi)型出發(fā)給出學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，特別對(duì)數(shù)學(xué)思維方法展開(kāi)討論，最后再給出創(chuàng)造性思維的徹底性原則。

一、思維類(lèi)型及其對(duì)教育方法的啟發(fā)

一般來(lái)說(shuō)人們思維分為下述四種類(lèi)型：接受快且深刻，接受快但膚淺，接受慢但深刻，接受慢且膚淺。當(dāng)然最好的是接受快且深刻這種類(lèi)型，這種類(lèi)型的人往往自小就表現(xiàn)出天才模樣，他們大都被稱為是神童?？上У氖牵麄?cè)谫潛P(yáng)聲中成長(zhǎng)，很容易養(yǎng)成驕傲情緒，久而久之他們就不習(xí)慣于“艱苦研究”，最后變成平庸之人。王安石的《傷仲永》寫(xiě)的就是這種情況。所以對(duì)第一種類(lèi)型的學(xué)生，我們對(duì)他們的愛(ài)護(hù)首先就是不要多表?yè)P(yáng)他們（例如各地過(guò)分吹捧高考狀元是不明智的做法），其次對(duì)他們要多加督促，讓他們養(yǎng)成艱苦學(xué)習(xí)習(xí)慣。列寧小時(shí)候聰明異常，他往往很快就完成作業(yè)，然后就嬉鬧不止。他的父母很擔(dān)心，怕他今后不會(huì)踏實(shí)學(xué)習(xí)，除了教育他以外，還時(shí)刻注意他。有一次列寧看到他的妹妹坐在鋼琴邊，不停地彈奏一首樂(lè)曲，花了許多小時(shí)，才把它彈得正確。為此列寧感悟道：做任何事情，沒(méi)有堅(jiān)毅品質(zhì)是不行的。列寧的父母知道這件事后才放心，他們知道列寧已經(jīng)懂得養(yǎng)成勤勞習(xí)慣的重要性。第二種類(lèi)型（接受快但膚淺）的人，他們平常的表現(xiàn)最容易使人迷惑：許多復(fù)雜的問(wèn)題他們一聽(tīng)就懂，可是他們自己做起來(lái)卻經(jīng)常出錯(cuò)。他們的家長(zhǎng)和老師都誤認(rèn)為這是由于“粗心”造成的，除了告誡他們要細(xì)心以外，家長(zhǎng)、老師（甚至他們自己）對(duì)這種現(xiàn)象都不在意。舉一個(gè)例子，初中學(xué)生剛學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)，寫(xiě)負(fù)數(shù)時(shí)往往會(huì)遺漏負(fù)號(hào)，當(dāng)你向他指出時(shí)，他立刻就知道是自己錯(cuò)了。人們大都認(rèn)為這是粗心的原因，殊不知是他在他的意識(shí)里還沒(méi)有真正接受負(fù)數(shù)這個(gè)概念，也就是說(shuō)他雖然接受了負(fù)數(shù)概念（也許很快就接受了）但是卻很“膚淺”，他的潛意識(shí)里并沒(méi)有它的“真正”位置。因?yàn)橐龑?dǎo)學(xué)生思想深化是一件困難的工作，所以對(duì)于接受快但膚淺的學(xué)生，我們也許更應(yīng)該留心。除了教育他們不要驕傲（這是由于他們接受快而造成的錯(cuò)誤）以外，還要訓(xùn)練他們的思維，讓他們養(yǎng)成深思的習(xí)慣。（順便提一下，怎樣培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成深思習(xí)慣，如同怎樣提高學(xué)生的寫(xiě)作能力一樣，至今都尚未找到特別行之有效的辦法）第三種類(lèi)型，即接受慢而深刻，在某種意義上它才是最好的一種類(lèi)型。領(lǐng)會(huì)深本是探索一切知識(shí)的必要因素，可是他具有這種優(yōu)越品質(zhì)而不覺(jué)，有時(shí)他還為自己接受慢而苦惱，這樣他對(duì)學(xué)業(yè)從不掉以輕心，為了克服自己接受慢的缺點(diǎn)，他總是“笨鳥(niǎo)先飛”，這樣在漫長(zhǎng)的學(xué)習(xí)生涯中，他養(yǎng)成一種堅(jiān)忍不拔的品質(zhì)，這又是一個(gè)獲得成功的必要條件。第三種類(lèi)型的人“天然”地具備了成功的兩個(gè)最重要的因素，所以大部分在學(xué)術(shù)上有成就的人都來(lái)自于他們。據(jù)說(shuō)牛頓、愛(ài)因斯坦小時(shí)候都很“笨”，倘若真是這樣，這便是上面論述最好佐證。另外的例子是真人真事，20世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家吉伯特（1862—1943），他接受新的思想很慢，但一經(jīng)接受，在運(yùn)用和進(jìn)一步發(fā)展這些思想上，就沒(méi)有人能和他比擬了。至于第四種類(lèi)型的人，雖然他們?cè)趯W(xué)業(yè)上很費(fèi)力，但他們的成功機(jī)率并不比第一、二種類(lèi)型的人要少，甚至還要大于第二種類(lèi)型的人。這種人只要不放棄努力，那么在他艱難的學(xué)習(xí)過(guò)程中，自然會(huì)養(yǎng)成一種深刻鉆研的稟性，此是“勤能補(bǔ)拙”之謂也，這正是一切在學(xué)術(shù)上獲得成就的人所要必備的主要品質(zhì)。明末清初的一位歷史學(xué)家談遷，小時(shí)候很愚笨，記性差、反應(yīng)慢，他對(duì)自己所讀的書(shū)籍很難弄懂，他很苦惱，不過(guò)他鍥而不舍，經(jīng)常讀書(shū)到深夜，由于長(zhǎng)期的努力，他終于大徹大悟，從此他便突飛猛進(jìn)，成為那個(gè)時(shí)代最有學(xué)問(wèn)的人之一。金庸小說(shuō)《射雕英雄傳》里的郭靖大概就是這種類(lèi)型人的最好寫(xiě)照?？傊?，無(wú)論是哪種類(lèi)型都有成功希望，只不過(guò)有的開(kāi)始要多費(fèi)點(diǎn)力氣而已?！奥斆鳌辈⒉皇侨顺晒Φ牟豢扇鄙俚臈l件，最重要的是人的刻苦和堅(jiān)忍，而且隨著人們的成長(zhǎng)，差的類(lèi)型在不斷刻苦努力下，也會(huì)迅速朝著最好類(lèi)型轉(zhuǎn)化，李白說(shuō)“天生我材必有用”，是千真萬(wàn)確的。

二、數(shù)學(xué)思維方法和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法

在一切學(xué)科中，數(shù)學(xué)是一門(mén)最重要而且最奇怪的學(xué)科。它研究的問(wèn)題似乎虛無(wú)飄渺，并不接觸現(xiàn)實(shí)世界，但卻有莫名其妙的大功效。麥克斯韋爾認(rèn)為，研究問(wèn)題時(shí)首先要引入數(shù)學(xué)概念，以他的名字命名的著名方程就是以這種方法推導(dǎo)出來(lái)的。狄拉克也認(rèn)為，應(yīng)該遵循數(shù)學(xué)方向前進(jìn)，因?yàn)椤罢娮印币矟M足以他的名字命名的方程，所以他預(yù)言“反物質(zhì)”正電子的存在，幾十年后人們果然在宇宙射線里發(fā)現(xiàn)了它。也許最值得一提的是，陳省身的“纖維叢”幾何學(xué)理論，竟然可以平行移動(dòng)到楊振林的“規(guī)范場(chǎng)”物理理論里，對(duì)此楊振林感嘆地說(shuō)：數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，根本沒(méi)有考慮到物理世界，而卻能深刻地闡述世界，這真令人驚嘆。如今關(guān)于物質(zhì)粒子最新研究的“弦理論”也和數(shù)學(xué)家丘成桐的微分幾何成就有密切關(guān)聯(lián)。計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)理論的關(guān)系同樣也非常密切。就連過(guò)去一向被認(rèn)為是最難找到實(shí)際用途的數(shù)論也在計(jì)算機(jī)科學(xué)里發(fā)揮著重要作用，例如大整數(shù)質(zhì)因數(shù)分解定理豐富了密碼學(xué)方法：RSA公鑰系統(tǒng)，根據(jù)大整數(shù)的分解，它采用“公鑰”和“私鑰”技術(shù)。[1]由此可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)上花費(fèi)時(shí)間是值得的。一般人并不喜歡數(shù)學(xué)，他們或者認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味，或者認(rèn)為數(shù)學(xué)深?yuàn)W難懂。在人們心目中，數(shù)學(xué)里只有推理，沒(méi)有猜測(cè)；只有邏輯，沒(méi)有藝術(shù)；只有抽象，沒(méi)有直觀；只有理性，沒(méi)有想象。人們感到數(shù)學(xué)的結(jié)果是一步一步推出來(lái)的，沒(méi)有過(guò)人的聰慧是不行的。然而，幸虧事實(shí)并非如此，否則我們的數(shù)學(xué)就不會(huì)興旺到如它目前所示，它早就不會(huì)吸引任何一個(gè)有智慧的人。其實(shí)數(shù)學(xué)是一門(mén)融合了人類(lèi)一切認(rèn)識(shí)世界方法的學(xué)科，只是在它整理自己的知識(shí)時(shí)，才采取了“定義”、“定理”和“證明”嚴(yán)格方式，這是為了保證它的結(jié)論準(zhǔn)確無(wú)誤所致。但是這并未妨礙人們用其他方式獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，其實(shí)最偉大的數(shù)學(xué)家在他們思考問(wèn)題時(shí)，都是憑借直觀（甚至是最粗糙的直觀）前進(jìn)的，特別是當(dāng)他們?cè)谧鰟潟r(shí)代事業(yè)時(shí)，更依賴直覺(jué)，甚至有時(shí)連邏輯也不顧。這在牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分時(shí)特別明顯。本段敘述直接來(lái)自于文獻(xiàn)[2]。明白了上面道理，我們建議：要在感性上下功夫，要理解數(shù)學(xué)精神實(shí)質(zhì)，即要有數(shù)學(xué)質(zhì)感。對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要運(yùn)用人類(lèi)一切認(rèn)知手段，即實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、直觀推理、試錯(cuò)法、合情推理和正統(tǒng)的邏輯推理；對(duì)于基本知識(shí)要有透徹了解，基本技能要熟練掌握。對(duì)于較難或者很難的題目，應(yīng)該努力解決它，真正解決不了，也不要?dú)怵H，可以暫時(shí)放下，“歷史總是帶著問(wèn)題前進(jìn)的”；對(duì)一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，如果你感到對(duì)它的任何一個(gè)習(xí)題，只要有時(shí)間你就可能會(huì)做出，即使不會(huì)做，但對(duì)別人做出的看一眼就會(huì)，那么這門(mén)學(xué)科你就基本過(guò)關(guān)了，沒(méi)有必要搞題海戰(zhàn)術(shù)，這是我國(guó)著名物理學(xué)家嚴(yán)濟(jì)慈的觀點(diǎn)。

三、徹底性原則

創(chuàng)造性思維最顯著的特征就是徹底性。歐氏幾何里有一條平行公理：“在平面內(nèi)過(guò)直線外一點(diǎn)，能且只能引一條直線和它平行”。但在歐幾里德的《幾何原本》里，很遲才引入平行公設(shè)，且敘述很啰唆，并不像上述的那樣簡(jiǎn)練。后人懷疑歐幾里德并不想把它作為公理，只是“證不了它”，才不得不把它作為一條公設(shè)采用。后來(lái)的數(shù)學(xué)家們躍躍欲試，用各種方法試圖證明它，就這樣證明了一千多年。不少人采用“反證法”，得出許多奇特結(jié)果，可惜他們認(rèn)為“荒謬”，就匆忙下結(jié)論說(shuō)，他們發(fā)現(xiàn)了矛盾從而證實(shí)了平行公設(shè)。只有高斯、鮑利埃、羅巴切夫斯基和舊觀念，即認(rèn)為“歐氏公理體系是唯一正確的”，徹底決裂，他們發(fā)現(xiàn)了非歐幾何。高斯懼怕舊觀念勢(shì)力，鮑利埃患得患失，他們都沒(méi)有發(fā)表他們的工作，只有羅巴切夫斯基勇敢地發(fā)表了他的成果。[3]同樣，愛(ài)因斯坦相對(duì)論和量子力學(xué)也都是徹底摒棄舊有觀念的好例子。舊有觀念根植于人的潛意識(shí)里，人們很難發(fā)現(xiàn)它，更難突破它。誠(chéng)如一位物理學(xué)家說(shuō)，他花了好幾年工夫才真正弄懂相對(duì)論，不是由于他知識(shí)的缺陷，而是由于他頭腦里的固有觀念妨礙了他的理解。他的話有助于我們理解突破舊觀念時(shí)，堅(jiān)持徹底性原則的重要性。只要是創(chuàng)造性工作，哪怕是很小的創(chuàng)新，實(shí)質(zhì)上都是在突破我們潛意識(shí)里某個(gè)舊有觀念。希望有所創(chuàng)造的人，對(duì)此不可不察。

對(duì)思維類(lèi)型做深入的反思和研究，可以及早發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維特點(diǎn)，進(jìn)而就可以給予學(xué)生有效的指導(dǎo)和引導(dǎo)，并且我們還要鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造性思維，努力攀登科學(xué)的頂峰。

參考文獻(xiàn)：

[1]Michael Sipser.計(jì)算理論導(dǎo)引[M].張立昂，黃雄，譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2000.

[2]王健吾.數(shù)學(xué)思維方法引論[M].合肥：安徽教育出版社，1996.

篇（2）

關(guān)鍵詞：

類(lèi)比思維；高中數(shù)學(xué)；解題應(yīng)用

所謂類(lèi)比思維就是從兩個(gè)事物之間在某些方面的相似中推出其他事物相同或不同屬性的思維推理模式。包括：通過(guò)新事物對(duì)已掌握知識(shí)進(jìn)行回憶與鞏固的聯(lián)想模式和通過(guò)類(lèi)比在不同事物間查找相似、相異之處的思維模式。類(lèi)比思維的運(yùn)用，可有效提高數(shù)學(xué)解題效率，培養(yǎng)和提高學(xué)生的綜合素質(zhì)能力。本文就自身在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)類(lèi)比思維在解題實(shí)踐中的有效應(yīng)用，與大家分享如下：

一、類(lèi)比思維在高中數(shù)學(xué)解題中的重要性

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有效的學(xué)習(xí)方法很多。類(lèi)比思維作為高中數(shù)學(xué)解題中的一個(gè)重要思維模式，在實(shí)際應(yīng)用中顯示出了它獨(dú)特的重要性。首先，基于類(lèi)比思維的解題，我們能夠?qū)⑿屡f不同知識(shí)進(jìn)行全方位、有效的對(duì)比，從而強(qiáng)化我們已有的記憶并對(duì)不同知識(shí)面進(jìn)行分類(lèi)區(qū)別，避免了所學(xué)知識(shí)的混淆，也有助于消除我們學(xué)習(xí)中的不良習(xí)慣。類(lèi)比思維的解題，還有助于我們積極構(gòu)建已學(xué)知識(shí)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)習(xí)和應(yīng)用更具清晰化、條理化。通過(guò)類(lèi)比思維在數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用，我們能夠更加深入的理解數(shù)學(xué)知識(shí)并培養(yǎng)和提高我們的自學(xué)、自創(chuàng)和自行研究問(wèn)題的能力。創(chuàng)新能力的不斷培養(yǎng)拓寬了我們對(duì)數(shù)學(xué)解題的思維模式，提高了學(xué)習(xí)興趣?？傊?，在類(lèi)比思維的運(yùn)用中，我們能夠不斷向未知領(lǐng)域前進(jìn)，并提高自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力[1]。

二、類(lèi)比思維在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，很多人感覺(jué)很吃力，學(xué)習(xí)成績(jī)不夠理想。從高中數(shù)學(xué)整體的學(xué)習(xí)上來(lái)看，如果我們能夠掌握科學(xué)合理的學(xué)習(xí)方式，也就能夠快速有效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而提高學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)成績(jī)。這時(shí)類(lèi)比思維作為數(shù)學(xué)解題思維的重要模式之一，在實(shí)際應(yīng)用中就顯示出它獨(dú)有的有效性?，F(xiàn)就以位置關(guān)系、概念、圖形特征等類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題為例，闡述類(lèi)比思維在解題中的具體運(yùn)用。

1、基于位置關(guān)系類(lèi)型的類(lèi)比思維應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，幾何知識(shí)內(nèi)容比較豐富，并具有一定的抽象性。繁雜而抽象的理論增加了我們對(duì)知識(shí)的理解難度。如何學(xué)好幾何知識(shí)和有效解決系列問(wèn)題，對(duì)同學(xué)們的邏輯思維能力就有了較高的要求。而類(lèi)比思維在學(xué)習(xí)中的有效運(yùn)用，使我們瞬間能夠明白幾何圖形的相交、相切、相離等多種位置關(guān)系，對(duì)高效解題十分有利。類(lèi)比思維在其中的運(yùn)用重點(diǎn)是，尋找相似知識(shí)點(diǎn)之間的不同，進(jìn)行對(duì)比著記憶和學(xué)習(xí)[2]。在運(yùn)用類(lèi)比思維時(shí)，我們必須對(duì)知識(shí)的異同點(diǎn)加以準(zhǔn)確、有效的把握，才能更好運(yùn)用類(lèi)比思維來(lái)解題。例如：在“直線與圓的位置關(guān)系”和“圓與圓的位置關(guān)系”中，容易混淆的知識(shí)點(diǎn)比較多，所以我們?cè)趯W(xué)習(xí)中就應(yīng)該積極尋找二者的差異，必要時(shí)可在草紙上畫(huà)出二者之間的位置關(guān)系。這樣我們的解題思路就能夠更加清晰，更有效地高效解題。

2、基于概念類(lèi)型知識(shí)的類(lèi)比思維應(yīng)用

在概念類(lèi)型的知識(shí)教學(xué)中，我們也可以運(yùn)用類(lèi)比思維，同樣能夠取得良好的學(xué)習(xí)效果。以代數(shù)為例：在學(xué)習(xí)過(guò)程中，諸多抽象的概念需要我們加以有效理解。如果相類(lèi)似概念同時(shí)出現(xiàn)，則難以有效區(qū)分。如果我們通過(guò)類(lèi)比法對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行區(qū)別學(xué)習(xí)，以了解相似概念之間的相同和不同點(diǎn)，對(duì)以后學(xué)習(xí)知識(shí)的推進(jìn)非常有利。例如，在“推理與證明”知識(shí)內(nèi)容的解題中，演繹法和歸納法兩個(gè)概念相類(lèi)似，使我們?cè)诮忸}過(guò)程中極易產(chǎn)生誤區(qū)，降低解題效率。運(yùn)用類(lèi)比思維于其中，將兩種概念的解題方法、應(yīng)用方式進(jìn)行類(lèi)比分析，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，同時(shí)也能夠使我們對(duì)二者的概念加以更加深入的理解。

3、基于圖形特征類(lèi)型的類(lèi)比思維應(yīng)用

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，對(duì)我們抽象思維、邏輯思維的要求更高。如果不能對(duì)立體幾何圖形知識(shí)內(nèi)容加以有效的把握，則難以解決數(shù)學(xué)難題。在學(xué)習(xí)中，圖形特征是比較容易混淆的知識(shí)點(diǎn)?；诖?，我認(rèn)為，對(duì)立體幾何的圖形特征學(xué)習(xí)中，可運(yùn)用類(lèi)比思維，不僅能夠快速尋找圖形特征的差異，而且可強(qiáng)化自身對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的記憶。例如，圓柱、球臺(tái)、圓錐等立體幾何圖形，雖然都具有各自獨(dú)特的特點(diǎn)，但是受諸多因素的影響，使我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中，可能對(duì)各立體幾何圖形的特征不能有效把握。因此，在引入類(lèi)比思維的條件下，我們?yōu)閰^(qū)分各圖形特征，可自己動(dòng)手制作各圖形的模型，并對(duì)圖形的側(cè)面進(jìn)行展開(kāi)，以更好區(qū)分各自的不同?？梢?jiàn)，類(lèi)比思維在圖形特征類(lèi)型知識(shí)內(nèi)容中的有效應(yīng)用，對(duì)解題十分有利[3]。

三、結(jié)論

在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，可運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想模式相對(duì)比較多。類(lèi)比思想作為其中的一種重要思維模式，它貫穿于高中數(shù)學(xué)學(xué)科的始終。通過(guò)對(duì)該思維模式在解題中有效應(yīng)用的研究，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再成為難題，也有效地提升了我們?cè)趯W(xué)習(xí)中的主動(dòng)性、創(chuàng)造性，培養(yǎng)了良好的思維方式和正確的學(xué)習(xí)習(xí)慣。在學(xué)習(xí)中也不斷提高了我們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的濃厚興趣，為將來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)科學(xué)研究奠定良好的基礎(chǔ)。

作者：梁雨田 單位：內(nèi)蒙古省包頭市第九中學(xué)高三18班

參考文獻(xiàn)：

篇（3）

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1672-1578（2013）09-0164-02

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，是思維培養(yǎng)的過(guò)程。而數(shù)學(xué)思維的形成主要是從問(wèn)題開(kāi)始的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生良好思維的形成主要依托于教師對(duì)問(wèn)題的設(shè)置，相比其他學(xué)科而言，提問(wèn)在數(shù)學(xué)學(xué)科課堂教學(xué)中的重要性更為突出。提問(wèn)是否得法，直接影響著數(shù)學(xué)課堂教學(xué)高效性的實(shí)現(xiàn)。

為了發(fā)現(xiàn)課堂教學(xué)中教師提問(wèn)中存在的主要問(wèn)題，2011年我縣中學(xué)數(shù)學(xué)課堂觀察組對(duì)兩所中學(xué)的八名中學(xué)數(shù)學(xué)教師的九節(jié)數(shù)學(xué)課，進(jìn)行了2個(gè)緯度、9個(gè)視角、23個(gè)點(diǎn)的課堂觀察及分析。根據(jù)課堂觀察組提供的數(shù)據(jù)，我就"維度二教師教學(xué)：觀察教師的主要教學(xué)行為"的"視角八提問(wèn)"中1提問(wèn)對(duì)象、次數(shù)、類(lèi)型、結(jié)構(gòu)、認(rèn)知難度、候答時(shí)間；2、教師理答方式和內(nèi)容如何？有哪些輔助方式？是否有效？這兩個(gè)觀察點(diǎn)進(jìn)行陳述和分析，并提出教學(xué)建議及應(yīng)對(duì)策略。

1.教師各種類(lèi)別提問(wèn)行為中存在的問(wèn)題

通過(guò)本次課堂中各種提問(wèn)行為類(lèi)別頻次的觀察分析，目前課堂教學(xué)中提問(wèn)的現(xiàn)狀主要存在以下幾點(diǎn)問(wèn)題：

1.1提出問(wèn)題的類(lèi)型單一，并且提出的問(wèn)題指向性不明。教師在課堂上發(fā)問(wèn)隨意，無(wú)效問(wèn)題較多，消耗了學(xué)生的精力，消磨了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，不利于學(xué)生思維多角度、深層次發(fā)展。學(xué)生回答問(wèn)題類(lèi)型觀察結(jié)果，也印證了教師提問(wèn)類(lèi)型單一結(jié)構(gòu)不合理這一現(xiàn)象。觀察結(jié)果顯示，教師提出的常規(guī)管理性問(wèn)題的比例過(guò)高，而提出的推理性問(wèn)題（理解性問(wèn)題）、創(chuàng)造性問(wèn)題（發(fā)散性問(wèn)題）、批判性問(wèn)題（評(píng)價(jià)性問(wèn)題）太少。數(shù)學(xué)課中過(guò)多的常規(guī)管理性問(wèn)題擠占和沖擊了學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，因此學(xué)生只能回答一些能夠通過(guò)模仿、記憶等淺層思維學(xué)習(xí)到的認(rèn)知記憶性問(wèn)題，而不能夠回答或提出反映思維的邏輯推理性、創(chuàng)造性的問(wèn)題。其原因是：

1.1.1教師的數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)不足。因此教師教師不能夠站在一定的高度把握問(wèn)題的本質(zhì)去設(shè)計(jì)問(wèn)題，設(shè)計(jì)問(wèn)題的深度或廣度不夠。如，在教學(xué)"蒲豐投針"問(wèn)題中，教師如果了解探究"蒲豐投針"的本質(zhì)，是找針與平行線相交無(wú)關(guān)的因素，教師就會(huì)有效提問(wèn)并指導(dǎo)學(xué)生的思維方向。

1.2.1課堂教學(xué)任務(wù)較重，教師沒(méi)有過(guò)多時(shí)間關(guān)注各個(gè)層次的學(xué)生。從初中數(shù)學(xué)的教學(xué)任務(wù)來(lái)看，一般情況下每節(jié)數(shù)學(xué)課至少涉及5個(gè)新舊概念，既要求掌握知識(shí)點(diǎn)又要在舊知識(shí)基礎(chǔ)上形成新概念和新技能。教師為了完成教學(xué)任務(wù)，往往會(huì)趕課而忽略不同想法、不同思路的學(xué)生。

1.2.2教師不能更多的站在學(xué)生的角度思考問(wèn)題、設(shè)計(jì)問(wèn)題，因而教師忽略了知識(shí)在學(xué)生思維中形成的過(guò)程，只注重所需要的結(jié)果，提出的問(wèn)題缺乏梯度于層次。

1.3教師在提問(wèn)中缺乏策略意識(shí)。為了激勵(lì)學(xué)生關(guān)注課堂、關(guān)注問(wèn)題，教師可以設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情景來(lái)吸引學(xué)生；或者，引入適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)機(jī)制、競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制激勵(lì)學(xué)生。如，在教學(xué)"三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊"時(shí)，可以創(chuàng)設(shè)情景：老師手中的教鞭、粉筆、學(xué)校的旗桿，這三樣?xùn)|西能構(gòu)成三角形嗎？這樣創(chuàng)設(shè)情景的好處在于，教鞭、粉筆、旗桿學(xué)生很熟悉；長(zhǎng)短對(duì)比強(qiáng)烈，激發(fā)了學(xué)生探究的好奇心。

2.提高教師課堂提問(wèn)有效性的對(duì)策

2.1教師要繼續(xù)加強(qiáng)數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)的學(xué)習(xí)。國(guó)家對(duì)教師在學(xué)歷上的要求體現(xiàn)了教師必須具備學(xué)科的專業(yè)知識(shí)，正所謂"深入才能淺出，屋才能建瓴"。教師掌握過(guò)硬的數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)，提出的問(wèn)題更有針對(duì)性和目的性，也是有效提問(wèn)的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)教師要①掌握必須的數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，了解小學(xué)、初中和高中各個(gè)階段的數(shù)學(xué)教材內(nèi)容及他們之間的關(guān)系；②研究教材編者對(duì)各部分內(nèi)容設(shè)計(jì)意圖；③把握課標(biāo)對(duì)每階段、每部分的要求。

2.2教師要積極參與學(xué)科教學(xué)知識(shí)技能的交流和培訓(xùn)學(xué)習(xí)。學(xué)科教學(xué)知識(shí)是指教師將自己所掌握的學(xué)科知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于理解的知識(shí)，體現(xiàn)為教師知道使用怎樣的演示、舉例、類(lèi)比、提問(wèn)來(lái)呈現(xiàn)學(xué)科內(nèi)容。美國(guó)心理學(xué)家艾伯特?梅拉別恩的實(shí)驗(yàn)說(shuō)明：信息的總效果=7%的文字+38%的音調(diào)+55%的面部表情和動(dòng)作?？梢?jiàn)，非言語(yǔ)行為在信息的表達(dá)中起著非常重要的作用。掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)和技能，能讓更多的學(xué)生參與到思考問(wèn)題、解決問(wèn)題與提出問(wèn)題當(dāng)中，使學(xué)生的學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)興趣更濃厚，學(xué)習(xí)更加深入，思維空間更加廣闊。

2.3教師要關(guān)注分層問(wèn)題的設(shè)計(jì)。一個(gè)班，學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平各不相同，教師要關(guān)注全體學(xué)生的發(fā)展，就要設(shè)計(jì)出適合不同層次學(xué)生的問(wèn)題，使各個(gè)層次的學(xué)生都有思考、展示的空間，有體驗(yàn)思考帶來(lái)快樂(lè)的機(jī)會(huì)。

2.4教師要給學(xué)生足夠的思考時(shí)間。根據(jù)調(diào)查顯示，普通學(xué)生對(duì)一般難度的問(wèn)題的思考時(shí)間大概為3-5秒，因此教師提出問(wèn)題后，要給不同的學(xué)生留足夠的時(shí)間思考問(wèn)題，也可借助小組合作學(xué)習(xí)互助學(xué)習(xí)，使各個(gè)層次的學(xué)生都形成較完整的思路，再回答問(wèn)題或提出問(wèn)題。

2.5教師要充分尊重有不同見(jiàn)解的學(xué)生，注重生成新的課堂資源。不同的學(xué)生總會(huì)有不同的想法和思路，教師不僅要充分尊重不同于自己預(yù)設(shè)思路與答案的學(xué)生，而且要善于將課堂中新的生成作為鮮活的課堂資源，進(jìn)行概括總結(jié)和提升。

篇（4）

數(shù)學(xué)教育要給予每個(gè)人在未來(lái)生活中最有用的東西。因此，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中不能把目光停留在數(shù)學(xué)知識(shí)的講解和解題方法的運(yùn)用上，而應(yīng)以它們?yōu)檩d體，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生思維能力的訓(xùn)練。

現(xiàn)代教學(xué)論認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)的是學(xué)生的思維習(xí)慣和思維品質(zhì)，是數(shù)學(xué)思維教育素質(zhì)化的重要內(nèi)容。思維培養(yǎng)的成功與否將直接影響數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高，影響著中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革的深化與發(fā)展。

數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象(空間形式與數(shù)量關(guān)系)互相作用并按一定規(guī)律產(chǎn)生和發(fā)展的。數(shù)學(xué)思維的種類(lèi)有很多，從具體形象思維到抽象邏輯思維，從直覺(jué)思維到辨證思維，從正向思維到逆向思維，從集中思維到發(fā)散思維，從再現(xiàn)性思維到創(chuàng)造性思維，從中體現(xiàn)出了多種多樣的思維品質(zhì)。如思維的深刻性、邏輯性、廣闊性、靈活性、創(chuàng)造性、發(fā)散性等。我認(rèn)為，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中主要應(yīng)通過(guò)對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)達(dá)到提高思維能力的目的，具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

一、注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念的教學(xué)

高一學(xué)生，從初中數(shù)學(xué)到高中數(shù)學(xué)將經(jīng)歷一個(gè)和很大的跨度，主要表現(xiàn)在知識(shí)內(nèi)容方面的銜接不自然，對(duì)高中數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)形式極不適應(yīng)。比如第一冊(cè)第一章的集合與簡(jiǎn)易邏輯，表面上看似很簡(jiǎn)單，而實(shí)際運(yùn)用中卻不能準(zhǔn)確把握那些用集合語(yǔ)言所描述的題目含義。再如第二章函數(shù)，這是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，教師會(huì)花很大的精力去講授，學(xué)生會(huì)都會(huì)下很大力氣來(lái)做題，結(jié)果卻不如人意。學(xué)生做題時(shí)主要是在解具體題目時(shí)很難與基本概念聯(lián)系起來(lái)。如經(jīng)常遇到的二次函數(shù)問(wèn)題，有時(shí)是求值域，有時(shí)是解方程或不等式，學(xué)生感到茫然。我把它們統(tǒng)一在一起，強(qiáng)調(diào)二次項(xiàng)系數(shù)對(duì)稱軸、判別式等幾個(gè)因素，幫助學(xué)生克服了思維的無(wú)序性。這一章內(nèi)容是思維方法從直觀到抽象、從離散到凝聚的過(guò)渡，是訓(xùn)練學(xué)生思維深刻性和廣闊性的重要階段。

二、加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透

高中數(shù)學(xué)的四大數(shù)學(xué)思想和十幾種數(shù)學(xué)方法是教學(xué)的關(guān)鍵與靈魂。一是解題的方法。為培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，教學(xué)中應(yīng)結(jié)合具體問(wèn)題，教給學(xué)生解答的基本方法、步驟。二是數(shù)學(xué)思想方法。思想方法把不同章節(jié)、不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題統(tǒng)一了起來(lái)，如數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)了思維的形象性、創(chuàng)造性，化歸思想提高了學(xué)生的靈活性、辨證性等。如換元法是一種常見(jiàn)的變形手段，它不只限于解某一章或某一類(lèi)的問(wèn)題。注重對(duì)這些思想方法的滲透，可以提高學(xué)生歸納總結(jié)及聯(lián)想能力，將數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的理解提高到一個(gè)新的階段，這對(duì)思維品質(zhì)的培養(yǎng)十分有益。

三、挖掘數(shù)學(xué)例題習(xí)題的功能

篇（5）

小學(xué)高年級(jí)是學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)鍵階段，對(duì)學(xué)生走進(jìn)初中具有基礎(chǔ)性作用，且知識(shí)的難度也有了提升。與一般的課程內(nèi)容不同，小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)對(duì)解決問(wèn)題的要求非常嚴(yán)格，題目類(lèi)型多樣，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯能力，在解題中可以實(shí)現(xiàn)舉一反三。但是由于教學(xué)上的不足和傳統(tǒng)思想的影響，我國(guó)小學(xué)生的數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的解題能力還非常薄弱，無(wú)法找到正確的解決對(duì)策，甚至?xí)?dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒。本文結(jié)合我國(guó)小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題教學(xué)的現(xiàn)狀，簡(jiǎn)單闡述教學(xué)中面臨的問(wèn)題，并根據(jù)實(shí)際提出突破教學(xué)的科學(xué)對(duì)策，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

一、目前小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題教學(xué)存在的不足

就目前來(lái)看，小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題教學(xué)主要存在以下三個(gè)方面的不足：

第一，教學(xué)形式單一。小學(xué)生以形象思維為主，興趣的培養(yǎng)是學(xué)習(xí)的前提。但現(xiàn)如今，我國(guó)小學(xué)高年級(jí)的數(shù)學(xué)解決問(wèn)題教學(xué)仍舊存在單一化的傾向，教學(xué)中沒(méi)有利用現(xiàn)代化設(shè)備，教學(xué)方式只有枯燥的講解，方法單一、封閉，不利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

第二，解決問(wèn)題講解“類(lèi)型化”。解決問(wèn)題題目多種多樣，類(lèi)型豐富，然而很多小學(xué)教師卻只是憑借經(jīng)驗(yàn)，將解決問(wèn)題分為幾個(gè)簡(jiǎn)單的模塊，讓學(xué)生盡快掌握解答技巧，實(shí)際上很多學(xué)生只是機(jī)械地記住了答案，根本沒(méi)有理解其中的道理。

第三，忽視了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。據(jù)調(diào)查，目前小學(xué)高年級(jí)的數(shù)學(xué)解決問(wèn)題教學(xué)仍舊在搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，不斷地讓學(xué)生做類(lèi)型題，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維被嚴(yán)重僵化，不利于學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)。

二、小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題教學(xué)的突破策略

（1）通過(guò)多樣提問(wèn)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。小學(xué)高年級(jí)學(xué)生正處于思維活躍時(shí)期，教師要突破傳統(tǒng)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題教學(xué)存在的弊端，就必須利用多樣化的手段增加問(wèn)題類(lèi)型，將教學(xué)活動(dòng)變得更加富有樂(lè)趣。另外，多樣化的提問(wèn)還可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，使其擺脫思維局限性。例如，題目小紅有10支鋼筆，小明的鋼筆數(shù)量比小明的2倍少4支，小明有多少支鋼筆？教師在講解完問(wèn)題之后，可以再提出另一個(gè)問(wèn)題：小明比小紅多幾支鋼筆？再次調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，讓學(xué)生產(chǎn)生積極的學(xué)習(xí)情緒，提高數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)效率。

（2）利用畫(huà)圖分析法培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維。學(xué)生以形象思維見(jiàn)長(zhǎng)，對(duì)于抽象的解決問(wèn)題有莫名的畏懼心理。其實(shí)，只要學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型就能很順利地列出數(shù)學(xué)式子，解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)解決問(wèn)題對(duì)學(xué)生的邏輯思維、數(shù)學(xué)能力具有很高的要求，教師必須能夠通過(guò)畫(huà)圖表的方式向?qū)W生傳授分析問(wèn)題的辦法，幫助學(xué)生理清解題思路，找到解題技巧。例如，小明買(mǎi)了一本280頁(yè)的漫畫(huà)書(shū)，計(jì)劃用7天看完。實(shí)際每天比計(jì)劃少看5頁(yè)，這本書(shū)實(shí)際看了多少天？列表分析：

借助這種列表的方式，可以讓學(xué)生直觀清晰地看到出題人的意圖，然后快速地解決問(wèn)題。學(xué)生在獨(dú)自面對(duì)其他解決問(wèn)題時(shí)，就可以順利建模，觸類(lèi)旁通，提高解題效率。

（3）讓學(xué)生自編數(shù)學(xué)解決問(wèn)題。想要提高解題能力，降低解題難度，教師在完善自己教學(xué)水平的同時(shí)，還要對(duì)學(xué)生的自主探究能力進(jìn)行培養(yǎng)，只有會(huì)編題目的學(xué)生才能夠解答問(wèn)題。因此，結(jié)合教材的內(nèi)容和教學(xué)的重點(diǎn)，教師可以適當(dāng)讓學(xué)生編撰題目，根據(jù)自己生活經(jīng)驗(yàn)提出問(wèn)題。例如，根據(jù)買(mǎi)5支鉛筆要0.6元錢(qián)，買(mǎi)同樣的鉛筆16支，需要多少X？學(xué)生就自主編寫(xiě)了：3臺(tái)拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計(jì)算，5 臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？這樣的題目，對(duì)自己的能力有了明顯的鍛煉。

篇（6）

隨著新課標(biāo)教學(xué)理念的不斷發(fā)展，廣大數(shù)學(xué)教育工作者對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題進(jìn)行了認(rèn)真的反思和進(jìn)一步改革。數(shù)學(xué)應(yīng)用題是用來(lái)解決問(wèn)題的，因?yàn)榇蠖鄶?shù)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題來(lái)自于生活之中。所以，數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解答和分析一直是教育工作者致力研究和探討的問(wèn)題。我們可以根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解答特征，深入分析其關(guān)鍵所在，讓學(xué)生利用在數(shù)學(xué)應(yīng)用題中所學(xué)到的解答技巧，去解決實(shí)際生活中的問(wèn)題。只有通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的充分認(rèn)識(shí)，把握好解答策略，才能更好地促進(jìn)學(xué)生思維能力發(fā)展。

1.簡(jiǎn)析小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的特征

小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題是通過(guò)自然的語(yǔ)言表達(dá)，再利用小學(xué)數(shù)學(xué)中所學(xué)的相關(guān)知識(shí)，解決現(xiàn)實(shí)生活中遇到的問(wèn)題的一種題型。學(xué)生解題可以采用先對(duì)題意進(jìn)行審閱，即審題；然后根據(jù)相關(guān)題意進(jìn)行解題計(jì)劃；接下來(lái)執(zhí)行原先的計(jì)劃；最后驗(yàn)證的步驟。在這些解題的步驟中將會(huì)涉及數(shù)學(xué)知識(shí)、相關(guān)的應(yīng)用題術(shù)語(yǔ)、語(yǔ)言知識(shí)和現(xiàn)實(shí)生活中的常識(shí)。就小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用題具有的特點(diǎn)而言，其特征可以分為典型類(lèi)型及語(yǔ)言特點(diǎn)。

1.1小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的典型分類(lèi)

小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用題類(lèi)型還是比較多的，其中都是以基礎(chǔ)的、簡(jiǎn)單的、系統(tǒng)的題目為主要類(lèi)型。小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的雞兔同籠問(wèn)題就是一個(gè)典型類(lèi)型的例子。運(yùn)算過(guò)程中使用到的都是整數(shù)的運(yùn)算，需要運(yùn)用到的知識(shí)也就會(huì)有所不一樣了。小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解答可以通過(guò)歸類(lèi)知識(shí)的方法，找出這種類(lèi)型特點(diǎn)的題型是用哪些知識(shí)去解答，這樣才能更好地解決問(wèn)題。

小學(xué)數(shù)學(xué)每個(gè)階段的應(yīng)用題涉及的問(wèn)題也是不盡相同的。小學(xué)一至三年級(jí)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般分為一步應(yīng)用題和二步應(yīng)用題這兩種類(lèi)型。一步應(yīng)用題大多是求和題，如求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)少了多少等。一步應(yīng)用題中的整體部分題，求整體未知的例子：美術(shù)手工課上，麗麗做了12朵小紅花，丹丹做了15朵小紅花，求她倆一共做了多少朵小紅花？二步應(yīng)用題則是有減乘題、加除題，等等。例如：家里有一些鉛筆，每盒有6支，哥哥事先用了3盒，現(xiàn)在還剩下5支，原來(lái)家里有多少支鉛筆？

1.2小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題具有的語(yǔ)言特點(diǎn)

小學(xué)數(shù)學(xué)的語(yǔ)言主要是用來(lái)表達(dá)應(yīng)用題中的數(shù)量與數(shù)量間的關(guān)系，在數(shù)學(xué)應(yīng)用題的語(yǔ)言與平常所用到的語(yǔ)言不同的是：語(yǔ)義明確，表達(dá)簡(jiǎn)單。數(shù)學(xué)應(yīng)用題的語(yǔ)言是用于表述數(shù)量間的關(guān)系，因此，在句法層面和詞義表達(dá)都與平常的語(yǔ)言存在差異；數(shù)學(xué)應(yīng)用題的句型大多為流水式句型，通常是用不同的詞義去表述這個(gè)主語(yǔ)，例如：“同學(xué)們給果園收蘋(píng)果，已經(jīng)裝了68筐，每筐38千克，還剩530千克沒(méi)有裝筐，把這些水果平均分4次運(yùn)出，一共運(yùn)出多少千克？”這道題中第一、第二句共用同一主語(yǔ)“同學(xué)”，第一、二、三、四句共用同一賓語(yǔ)“蘋(píng)果”。流水句式的特點(diǎn)是小句中有小句，層層嵌套。數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的這種特點(diǎn)對(duì)學(xué)生解析和理解是有一定難度的。識(shí)別流水句的結(jié)構(gòu)關(guān)系，找到相互銜接的關(guān)系，是解決應(yīng)用題的重點(diǎn)。

2.小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解答策略

為探求數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案過(guò)程中采用的方法的認(rèn)識(shí)，這就是解答策略。當(dāng)前，針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的解題策略的探討是較為雜亂的。我們可以從數(shù)學(xué)解題的方法和非數(shù)學(xué)解題策略的框架入手對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題解答對(duì)策進(jìn)行分析。

2.1圖式策略

小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決的關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)用圖式的作用。小學(xué)生的數(shù)學(xué)圖式能分為三個(gè)等級(jí)去分析。

第一種，小學(xué)生年齡小，感知還不是很強(qiáng)，可以通過(guò)運(yùn)用事物的操作，對(duì)題意進(jìn)行直接仿照，構(gòu)成問(wèn)題的情景特征。

第二種，利用圖式的功能去記住題意中一些關(guān)鍵的數(shù)據(jù)及相互的關(guān)系。

第三種，用圖式的關(guān)系表述部分與整體間存在的聯(lián)系，能夠使小學(xué)生對(duì)需要解決的問(wèn)題中的信息有清晰的表征。

2.2結(jié)構(gòu)策略

根據(jù)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)系可以得到從已知數(shù)到已知數(shù)，從未知數(shù)到已知數(shù)的關(guān)系。經(jīng)過(guò)整理可以有三種模式：由一個(gè)已知數(shù)與另一個(gè)已知數(shù)的關(guān)系，基于這樣的數(shù)量關(guān)系可以解答這個(gè)未知數(shù)；先前已解答出的一個(gè)未知數(shù)與一個(gè)已知數(shù)的關(guān)系可以解決這個(gè)未知數(shù)；由兩個(gè)已經(jīng)解答出來(lái)的未知數(shù)，在已經(jīng)建立的數(shù)量關(guān)系基礎(chǔ)上解答出這個(gè)未知數(shù)。由以上三種情況，我們可以運(yùn)用綜合法與分析法進(jìn)行解題策略。數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解答策略在運(yùn)用的過(guò)程中，需要注意根據(jù)不同年級(jí)的學(xué)生能力水平的實(shí)際情況而定。對(duì)于低年級(jí)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題較為簡(jiǎn)單，我們可以采用綜合的分析方法，對(duì)待高年級(jí)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題數(shù)量間的關(guān)系較為繁雜，則可以適當(dāng)采取兩者的方法進(jìn)行解答。

2.3非數(shù)學(xué)解題對(duì)策

非數(shù)學(xué)解題策略就從數(shù)學(xué)以外的視角進(jìn)行剖析的方法。這樣能夠突破數(shù)學(xué)的思維，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，開(kāi)闊學(xué)生的思維視野。非數(shù)學(xué)解題策略主要有語(yǔ)言描述策略、生活化策略、應(yīng)用策略等。語(yǔ)言策略的應(yīng)用題，例如：“兩個(gè)車(chē)站間的距離是354千米，甲乙兩輛車(chē)同時(shí)從兩站開(kāi)出，相向而行，4小時(shí)相遇，甲車(chē)每小時(shí)行35千米，乙車(chē)每小時(shí)行多少千米？”這是一個(gè)路程問(wèn)題，用了速度、時(shí)間和路程的概念，還涉及一些相關(guān)的專業(yè)詞匯“同時(shí)”“從兩地開(kāi)出”“相向而行”“相遇”，老師在分析的過(guò)程中應(yīng)注意相關(guān)的細(xì)節(jié)，幫助學(xué)生理清思路。

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一、強(qiáng)化基礎(chǔ)訓(xùn)練，掌握數(shù)量關(guān)系

基本的數(shù)量關(guān)系是指加、減、乘、除法的基本應(yīng)用，比如：求兩個(gè)數(shù)量相差多少，用減法解答；求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾，用除法解答；求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，用乘法解答等。任何一道復(fù)合應(yīng)用題都是由幾道有聯(lián)系的一步應(yīng)用題組合而成的。因此，基本的數(shù)量關(guān)系是解答應(yīng)用題的基礎(chǔ)。在復(fù)習(xí)時(shí)，我特意安排了一些補(bǔ)充條件的問(wèn)題和練習(xí)，目的是強(qiáng)化學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)。使學(xué)生看到問(wèn)題立刻想到解決問(wèn)題所必需的兩個(gè)條件；看到兩個(gè)條件能迅速想到可以解決什么問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上再出些有助于訓(xùn)練發(fā)散性思維的練習(xí)題。如給出兩個(gè)條件：甲數(shù)是10，乙數(shù)是8，要求學(xué)生盡可能地多提出些問(wèn)題。練習(xí)時(shí)，先要求學(xué)生提出用一步解答的問(wèn)題，如“甲數(shù)比乙數(shù)多多少”、“乙數(shù)比甲數(shù)少多少”、“乙數(shù)占甲數(shù)的幾分之幾”等。然后再要求學(xué)生提出用兩步解答的問(wèn)題，如“甲數(shù)比乙數(shù)多幾分之幾”、“乙數(shù)比甲數(shù)少幾分之幾”、“乙數(shù)占兩數(shù)和的幾分之幾”等。對(duì)于常用的數(shù)量關(guān)系，復(fù)習(xí)時(shí)我還采用給名稱讓學(xué)生編題的練習(xí)形式。如已知渭酆妥薌郟編求數(shù)量的題目；已知路程和時(shí)間，編求速度的題目等。通過(guò)這種形式的訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)一步牢固掌握基本的數(shù)量關(guān)系。為解答較復(fù)雜的應(yīng)用題打下良好基礎(chǔ)。在編題訓(xùn)練的過(guò)程中，還要注意指導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的準(zhǔn)確理解和運(yùn)用。只有準(zhǔn)確理解，才能正確運(yùn)用。如增加、增加到、增加了，提高、提高到、提高了，擴(kuò)大，縮小等。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，及時(shí)糾正。對(duì)易混的術(shù)語(yǔ)，如減少了和減少到等要讓學(xué)生區(qū)別清楚。

二、綜合運(yùn)用知識(shí)，拓寬解題思路

能夠正確解答應(yīng)用題，是學(xué)生能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的具體表現(xiàn)。應(yīng)用題的解答一般采用綜合法和分析法。我們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)側(cè)重教給分析法。例如：李師傅計(jì)劃做820個(gè)零件，已經(jīng)做了4天，平均每天做50個(gè)，其余的6天做完，平均每天要做多少個(gè)？分析方法是從問(wèn)題入手，尋找解決問(wèn)題的條件。即：①要求平均每天做多少個(gè)，必須知道余下的個(gè)數(shù)和工作的天數(shù)（6天）這兩個(gè)條件。②要求余下多少個(gè)，就要知道計(jì)劃生產(chǎn)多少個(gè)（820個(gè)）和已經(jīng)生產(chǎn)了多少個(gè)。③要求已經(jīng)生產(chǎn)了多少個(gè)，需要知道已經(jīng)做的天數(shù)（4天）和平均每天做的個(gè)數(shù)（50個(gè)）。在復(fù)習(xí)過(guò)程中，我注重要求學(xué)生把分析思考的過(guò)程用語(yǔ)言表述出來(lái)。學(xué)生能說(shuō)清楚，就證明他的思維是理順的。既要重視學(xué)生的計(jì)算結(jié)果，更要重視學(xué)生表述的分析過(guò)程。

三、系統(tǒng)整理歸納，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

在應(yīng)用題復(fù)習(xí)中，一題多解是溝通知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)系的一種行之有效的練習(xí)形式。它不但有助于學(xué)生牢固地掌握數(shù)量關(guān)系，而且可以開(kāi)闊解題思路，提高學(xué)生多角度地分析問(wèn)題的能力。例如：一個(gè)修路隊(duì)，原計(jì)劃每天修80米，實(shí)際每天比原計(jì)劃多修20%，結(jié)果用12.5天就完成任務(wù)。原計(jì)劃多少天完成任務(wù)？可有下列解法：①80×（1+20%）×12.5÷8=15（天）②12.5×（1+20%）=15（天）③設(shè)計(jì)劃用x天完成。80x=80×（1+20%）×12.5x=15④設(shè)原計(jì)劃用x天完成。80∶80×（1+20%）=12.5∶xx=15

四、進(jìn)行同類(lèi)題型歸類(lèi)，并有針對(duì)性的進(jìn)行訓(xùn)練

篇（8）

由于初中學(xué)生的年齡特征以及知識(shí)結(jié)構(gòu)的限制，在初中階段往往習(xí)慣于“靜態(tài)”思維，而高中數(shù)學(xué)無(wú)論從思維的廣度和深度上都有很大的提高.所以，為了讓學(xué)生更好地感知高初中數(shù)學(xué)的區(qū)別，我們讓學(xué)生開(kāi)始體味靜、動(dòng)態(tài)思維的區(qū)別.

二、應(yīng)變能力的初、高中銜接

目前不少學(xué)校在解決初、高中銜接問(wèn)題時(shí)，往往在高一新生入學(xué)的幾個(gè)星期內(nèi)集中復(fù)習(xí)一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數(shù)等內(nèi)容，這些做法從知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)來(lái)考慮有一定好處，但如果不加創(chuàng)造性地復(fù)習(xí)往往會(huì)抹殺新生的“求新感”，容易產(chǎn)生厭煩情緒.下面以“一元二次”為例談?wù)勎覀兊淖龇?，主要是如何搞好?yīng)變能力的銜接.

篇（9）

1.粗心大意型。從心理學(xué)的角度來(lái)看，粗心是一種非智力的負(fù)面因素，是受人的素質(zhì)和氣質(zhì)的雙重影響而形成的。小學(xué)生正處在心理、生理急速變化的階段，于是粗心大意是他們司空見(jiàn)慣的行為，覺(jué)得無(wú)所謂。而這類(lèi)錯(cuò)誤又是學(xué)生出現(xiàn)最多的，占練習(xí)錯(cuò)誤率的百分之四十。不管是學(xué)習(xí)成績(jī)好的，還是一般的、差的學(xué)生都有這種犯錯(cuò)現(xiàn)象。其原因有：一是貪玩、惰性造成的，學(xué)生把作業(yè)看成一種負(fù)擔(dān)，希望盡快完成，早點(diǎn)出去玩，更不會(huì)檢查；二是馬虎使然，審題不仔細(xì)而出錯(cuò)；三是做作業(yè)時(shí)思維不嚴(yán)謹(jǐn)而出錯(cuò)。要克服這一現(xiàn)象，除了教師要經(jīng)常強(qiáng)調(diào)學(xué)生細(xì)心外，還要讓學(xué)生養(yǎng)成做完作業(yè)后檢查的好習(xí)慣。

2.解題策略型。由于小學(xué)生理解題目的能力及抽象水平較低，對(duì)題目要求不理解而導(dǎo)致出錯(cuò)。這一類(lèi)錯(cuò)誤占百分之三十。具體出錯(cuò)類(lèi)型有三種。第一種是知識(shí)混淆致錯(cuò)。如下面兩題：（1）一根鐵絲長(zhǎng)15米，用去3/8米，還剩多少米？（2）一根鐵絲長(zhǎng)15米，用去3/8，還剩多少米？這兩題看上去很相似，實(shí)際差別很大，學(xué)生容易將3/8米和3/8混淆。為了預(yù)防此類(lèi)錯(cuò)誤，教師應(yīng)多設(shè)計(jì)一些對(duì)比練習(xí)，加深學(xué)生的認(rèn)識(shí)，有效培養(yǎng)學(xué)生的分析辨別能力。第二種是題意誤解致錯(cuò)。很多學(xué)生只憑經(jīng)驗(yàn)和感性認(rèn)識(shí)，不作分析就作答，造成錯(cuò)誤。第三種是思維局限致錯(cuò)。這主要表現(xiàn)在學(xué)生的思維雜亂無(wú)序，造成思考受阻，而無(wú)法解題。為克服這一現(xiàn)象，教學(xué)中要十分注意學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)，啟發(fā)學(xué)生扎實(shí)探索解題途徑和解題方法。

3.急燥好勝型。這一類(lèi)占練習(xí)出錯(cuò)率的百分之五。小學(xué)生表現(xiàn)欲較強(qiáng)，將這一心理帶進(jìn)數(shù)學(xué)練習(xí)中，看到題目就憑著自信，急急解答，求成心切，不作思考檢查，就交給教師，而導(dǎo)致出錯(cuò)。對(duì)于這些學(xué)生只要教師多加引導(dǎo)，表?yè)P(yáng)適度，學(xué)生是可以克服的。

篇（10）

一、引言

應(yīng)用題在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中，占有十分重要的地位，同時(shí)它也是培養(yǎng)和提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析問(wèn)題和借鑒問(wèn)題的重要途徑。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)用題的比重也在不斷增加。題目的新穎度、實(shí)用性和知識(shí)的應(yīng)用性都在不斷提升。但是萬(wàn)變不離其宗，其教學(xué)和解題思路還是有著嚴(yán)格的規(guī)律，在教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生分析應(yīng)用題和解答應(yīng)用題的能力。應(yīng)用題的解答不僅需要學(xué)生對(duì)課本的基礎(chǔ)知識(shí)有熟練的把握和應(yīng)用，還要求學(xué)生有著相應(yīng)的分析、判斷和推理的能力。這些數(shù)學(xué)思維和能力是需要按照一定的思路和策略進(jìn)行培養(yǎng)的，本文對(duì)這一系列方法進(jìn)行了總結(jié)，按照審題、解題、答題的思路進(jìn)行了相應(yīng)的闡述。

二、數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)思路探究

（一）精準(zhǔn)鎖定題目類(lèi)型

要想進(jìn)行應(yīng)用題的解答，首先要確定題目的類(lèi)型，并根據(jù)題目的類(lèi)型鎖定相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)。在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)的教材中，應(yīng)用題的題型非常多，既有圖文結(jié)合的，又有對(duì)話式的還有表格式的，而且應(yīng)用題的信息量普遍比較大，有時(shí)候在綜合考核中甚至包含幾道應(yīng)用題。因此，在解題上必須要會(huì)審題，要鎖定題目的類(lèi)型。尤其是對(duì)低年級(jí)的學(xué)生而言，審題就顯得尤為重要了。要從題目的大意中判斷題目的考查點(diǎn)，小學(xué)應(yīng)用題的類(lèi)型非常多，有行程類(lèi)的、有工程類(lèi)的、銷(xiāo)售類(lèi)的，還有幾何問(wèn)題的，面積類(lèi)的、周長(zhǎng)類(lèi)的等等。當(dāng)然根據(jù)知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)也可以分為多種類(lèi)型，單位一的問(wèn)題、百分?jǐn)?shù)的問(wèn)題等等。當(dāng)然，類(lèi)別非常多，需要的知識(shí)點(diǎn)也非常多。尤其是數(shù)學(xué)廣角問(wèn)題中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的知識(shí)點(diǎn)更是非常多，學(xué)生必須會(huì)根據(jù)題目中的語(yǔ)言進(jìn)行應(yīng)用題類(lèi)型的歸納，這是應(yīng)用題解題的第一步。

（二）有效分析關(guān)鍵句

大致分析并確定了題目所歸屬的類(lèi)型才能更好地展開(kāi)思考，根據(jù)知識(shí)點(diǎn)和相關(guān)例題去分析題目中的關(guān)鍵句，從關(guān)鍵句中提煉出有效的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

例如，媽媽買(mǎi)了3千克桔子和4千克蘋(píng)果，共花了23.4元。每千克蘋(píng)果的價(jià)錢(qián)是桔子的1.5倍。每千克蘋(píng)果和桔子各多少元？

上面這道題明顯是屬于單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)的問(wèn)題類(lèi)別，屬于求單價(jià)的問(wèn)題，這道題中的關(guān)鍵句就是3千克橘子和4千克蘋(píng)果共花了23.4元，其中蘋(píng)果的單價(jià)是橘子的1.5倍。我們可以根據(jù)方程中，是誰(shuí)的設(shè)誰(shuí)為未知數(shù)的原則設(shè)橘子的單價(jià)為x，那么蘋(píng)果的單價(jià)就是1.5x，這樣數(shù)學(xué)語(yǔ)言一下子就明確了，所有的已知條件也被應(yīng)用了，解題的思路也就明確了。

因此，在解題的時(shí)候要根據(jù)具體的題型找出題目中的關(guān)鍵句，然后根據(jù)關(guān)鍵句提煉出其中所包含的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，根據(jù)數(shù)學(xué)語(yǔ)言為之后的等量關(guān)系的確定做好充分的準(zhǔn)備。

（三）迅速確立等量關(guān)系

在應(yīng)用題的解答中，確立等量關(guān)系是教學(xué)過(guò)程中的重中之重，等量關(guān)系的確定首先考評(píng)的是學(xué)生對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的掌握，然后是對(duì)題目類(lèi)型的分析能力和對(duì)題目材料的提煉能力。在新課的教授過(guò)程中，等量關(guān)系的確立相對(duì)比較簡(jiǎn)單，因此，題目的類(lèi)型在剛剛學(xué)過(guò)的課程當(dāng)中，根據(jù)例題能夠比較好地找到相應(yīng)的題型解答思路，也能找到相應(yīng)的等量關(guān)系。但是，在處理一些綜合題目的時(shí)候，找題目的等量關(guān)系就相對(duì)來(lái)說(shuō)比較難了。根據(jù)上文提到的關(guān)鍵句找到題目中形成等量關(guān)系的關(guān)鍵詞，例如，“是”“比”“多”“少”“提前”“共”這樣明顯蘊(yùn)涵等量關(guān)系的字眼，然后根據(jù)字眼來(lái)確定方程或算式中的等量關(guān)系式。數(shù)學(xué)語(yǔ)言中這些重要的字眼要及時(shí)總結(jié)，讓學(xué)生見(jiàn)到這些字眼形成敏感性，知道這些字眼背后的等量關(guān)系。除此之外，還要明確常見(jiàn)的等量關(guān)系式，如速度、時(shí)間、路程問(wèn)題，工作總量、工作時(shí)間和工作效率問(wèn)題。在單位一的應(yīng)用題解答中，如果單位一明確已知，那么一般采用乘法進(jìn)行解答，如果單位一未知，一般用方程或者除法進(jìn)行解答。把這些思路結(jié)合具體的題目進(jìn)行教授，讓學(xué)生形成明確的解題思路對(duì)于應(yīng)用題的解答會(huì)產(chǎn)生事半功倍的作用。

（四）根據(jù)需求進(jìn)行列式計(jì)算