序論：好文章的創(chuàng)作是一個不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]十篇數(shù)學(xué)概念教學(xué)范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

二、學(xué)生分析

學(xué)生對生活中確定一個物置有一些生活經(jīng)驗(yàn)，因此，從身邊的實(shí)例入手，能更好地理解有序數(shù)對。讓學(xué)生充分體會物體的位置可用一組有序數(shù)對表達(dá)，建立數(shù)學(xué)模型。

三、教學(xué)方法

本節(jié)以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，從活動中得到有序數(shù)對的概念，并在活動中進(jìn)一步理解有序數(shù)對的概念。在教學(xué)中，老師與學(xué)生互動，學(xué)生與學(xué)生互動，激發(fā)學(xué)生的求知欲，感受學(xué)習(xí)的

樂趣。

四、教學(xué)目標(biāo)

知識目標(biāo)：

1.有序數(shù)對的含義。

2.用有序數(shù)對表示生活中物體的位置。

3.用有序數(shù)對表示位置。

過程與方法：

通過身邊實(shí)例感受有序數(shù)對表示位置，在活動中學(xué)習(xí)有序

數(shù)對。

情感與態(tài)度：

1.培養(yǎng)學(xué)生的合作意識，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

2.感受用有序數(shù)對表示位置，位置可用有序數(shù)對表示，體會數(shù)形結(jié)合。

五、教學(xué)重點(diǎn)

1.有序數(shù)對的意義。

2.用有序數(shù)對表示位置。

六、教學(xué)難點(diǎn)

1.有序數(shù)對中有序的理解。

2.用有序數(shù)對解決實(shí)際問題。

七、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

【活動1】在班里，老師想找一個學(xué)生，猜猜他是誰？

（1）他在“第5列”，你能確定他的位置嗎？

（2）他在“第2排”，你能確定他的位置嗎？

（3）他在“第5列，第2排”，你能確定是誰了嗎？

問題：你認(rèn)為確定平面上一個點(diǎn)的位置需要幾個數(shù)據(jù)？

【活動2】你能很快找出以下位置的同學(xué)嗎？（1，3）（3，1）（2，4）（4，2）（5，4）（4，5）。

列在前，還是排在前對位置是否有影響？

約定：“列在前，排在后”你有什么發(fā)現(xiàn)？

2.揭示概念，活動鞏固

歸納：有序數(shù)對的定義_____記作_____。

【活動3】說出自己所在位置的有序數(shù)對（約定“列數(shù)在前，排數(shù)在后）。

【活動4】學(xué)生說出一個有序數(shù)對，說到的學(xué)生立馬站出來。

【活動5】如果約定：排在前，列在后。你能說出所在位置的數(shù)對嗎？

問：生活中還有哪些與有序數(shù)對有關(guān)的事情。

3.隨堂練習(xí)，鞏固提升

（1）這是幾個學(xué)生寫出來的有序數(shù)對，誰寫對了？

A（5、9） B（x，y） C4，6 D（a b） E（b，9）

（2）在電影票上，將“7排6號”簡記為（7，6），則6排7號可表示為_____。

（8，6）表示的意義是_____。

（3）如圖1，甲處表示2街與5巷的十字路口，乙處表示5街與2巷的十字路口，如果用（2，5）表示甲處的位置，那么“（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（5，4）（5，3）（5，2）”表示從甲處到乙處的一種路線，請用有序數(shù)對寫出1種從甲處到乙處的路線。（只能向右或向下走）

（4）如圖2所示，如果點(diǎn)A的位置為（1，2），那么點(diǎn)B的位置為_____ ，點(diǎn)C的位置為 _____。

4.當(dāng)堂反饋

（1）在電影票上（5，3）表示5排3號，則（8，6）表示的含義

10排5號則可用有序數(shù)對表示為 _____。

（2）如圖所示3，如果點(diǎn)A的位置為（3，2），那么點(diǎn)B的位置為 _____，點(diǎn)C的位置為_____，點(diǎn)D和點(diǎn)E的位置分別為

_____，_____。

5.總結(jié)收獲

6.延伸與拓展，自由設(shè)計

小組合作，設(shè)計隊(duì)徽

要求：在網(wǎng)格紙內(nèi)設(shè)計一個容易用有序數(shù)對描述的圖形并用自己的語言描述這個圖形所賦予的含義。

八、教學(xué)反思

本節(jié)課從學(xué)生熟悉的教室里的位置出發(fā)，得到有序數(shù)對的定義。指出有序數(shù)對可表示物體的位置。這節(jié)課設(shè)置了五個活動，活動一“猜謎”引出確定一個位置需要兩個數(shù)據(jù)，引出數(shù)對的概念。活動二“找位置”體會表示位置的兩個數(shù)據(jù)是有順序的，引入有序數(shù)對的定義?；顒尤罢f出自己所在位置的有序數(shù)對”讓學(xué)生充分體會用數(shù)對表示位置?；顒铀摹敖o一個有序數(shù)對猜猜位置在哪？”充分體會有序數(shù)對表示的位置?；顒游濉凹s定互換”體會有序數(shù)對的有序性。位置在學(xué)生的生活中并不陌生，采用活動進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生充分參與到教學(xué)活動中，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在身邊，從而提高學(xué)習(xí)的積極性，達(dá)到較好的教學(xué)

篇（2）

數(shù)學(xué)概念是客觀事物中數(shù)與形的本質(zhì)屬性的反映,是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石,是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ),是提高解題能力的前提,是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓。因此,數(shù)學(xué)概念教學(xué)是“雙基”教學(xué)的核心,是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分,教師應(yīng)引起足夠重視。有些學(xué)生在課下與我交談時說老師上課講的題一聽就會了,可是自己單獨(dú)做的時候卻無從入手,究其原因主要是對題目中涉及的相關(guān)數(shù)學(xué)概念理解不透徹,以致無法根據(jù)已知條件找到解題通道。另外,新教材有的地方對概念教學(xué)的要求是知道就行,需要某個概念時,就在旁邊用小字給出,這樣過高地估計了學(xué)生的理解能力,也是造成學(xué)生不會解題的一個原因。我結(jié)合新課標(biāo)的學(xué)習(xí)和教學(xué)中的實(shí)踐談一些認(rèn)識。

一、注重概念產(chǎn)生的基礎(chǔ),體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過程

數(shù)學(xué)概念的引入,應(yīng)從實(shí)際出發(fā),創(chuàng)設(shè)情境,提出問題。通過與概念有明顯聯(lián)系、直觀性的例子,使學(xué)生在對具體問題的體驗(yàn)中感知概念,形成感性認(rèn)識,通過對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析,提煉出感性材料的本質(zhì)屬性。比如在概率概念的教學(xué)中,我首先讓學(xué)生知道用概率度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小能為決策提供關(guān)鍵性的依據(jù),提問如何才能獲得隨機(jī)事件的概率呢?我讓學(xué)生做擲硬幣的實(shí)驗(yàn),每人10次,最后我統(tǒng)計結(jié)果,把全班學(xué)生的結(jié)果匯總,計算出正面朝上的頻數(shù)和頻率。學(xué)生會發(fā)現(xiàn)所得的頻率都在0.5附近擺動。此時我就把擲一枚硬幣正面朝上的概率記為0.5,從而總結(jié)出概率就是頻率的穩(wěn)定值。如此通過學(xué)生親自參與實(shí)驗(yàn)來讓學(xué)生更好地理解概率的真正含義,使學(xué)生感覺到概率的概念就是他們親自做出來的,還嘗到了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的滋味。

二、在挖掘新概念的內(nèi)涵與外延的基礎(chǔ)上理解概念

新概念的引入,是對已有概念的繼承、發(fā)展和完善。有些概念由于其內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因,很難一步到位,需要分成苦干個層次,逐步加深提高。如三角函數(shù)的定義,經(jīng)歷了以下三個循序漸進(jìn)、不斷深化的過程:(1)用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數(shù)的定義。(2)用點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)的定義。(3)任意角的三角函數(shù)的定義。由此概念衍生出:①三角函數(shù)的值在各個象限的符號。②三角函數(shù)線。③同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。④三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)。⑤三解函數(shù)的誘導(dǎo)公式,等等?？梢?三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學(xué)中可謂重中之重,是整個三角部分的基石,它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容并起著關(guān)鍵作用。重視概念教學(xué),挖掘概念的內(nèi)涵與外延,有利于學(xué)生對概念的理解。

三、在尋找新舊概念之間聯(lián)系的基礎(chǔ)上掌握概念

數(shù)學(xué)中有許多概念都有著密切的聯(lián)系,如平行線段與平行向量、平面角與空間角、方程與不等式、映射與函數(shù)、對立事件與互斥事件等。在教學(xué)中,教師應(yīng)善于尋找、分析其聯(lián)系與區(qū)別,這有利于學(xué)生掌握概念的本質(zhì)。再如,函數(shù)概念有兩種定義,一種是初中給出的定義,是從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)出發(fā),其中的對應(yīng)關(guān)系是將自變量的每一個取值,與唯一確定的函數(shù)值對應(yīng)起來;另一種是高中給出的定義,是從集合、對應(yīng)的觀點(diǎn)出發(fā),其中的對應(yīng)關(guān)系是將原象集合中的每一個元素與象集合中唯一確定的元素對應(yīng)起來。從歷史上看,初中給出的定義來源于物理公式,而函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型,函數(shù)可用圖像、表格、公式等表示,所以高中用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù),抓住了函數(shù)的本質(zhì)屬性,更具有一般性。認(rèn)真分析兩種函數(shù)定義,其定義域與值域的含義完全相同,對應(yīng)關(guān)系本質(zhì)也一樣,只不過敘述的出發(fā)點(diǎn)不同,所以兩種函數(shù)的定義,本質(zhì)是一致的。當(dāng)然,對于函數(shù)概念真正的認(rèn)識和理解是不容易的,要經(jīng)歷一個多次接觸的較長的過程。

四、在運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決問題的過程中鞏固概念

在數(shù)學(xué)概念形成之后,我通過具體例子,說明概念的內(nèi)涵,認(rèn)識概念的“原型”,引導(dǎo)學(xué)生利用概念解決數(shù)學(xué)問題和發(fā)現(xiàn)概念在解決問題中的作用。這是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié),此環(huán)節(jié)操作的成功與否,將直接影響學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的鞏固,以及解題能力的形成。學(xué)生通過對問題的思考,盡快地投入到新概念的探索中去,從而激發(fā)了好奇心、探索和創(chuàng)造的欲望,使學(xué)生在參與的過程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗(yàn)和創(chuàng)造。例如,當(dāng)我們學(xué)習(xí)完“向量的坐標(biāo)”這一概念之后,進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算,我提出問題:已知平行四邊形的三個頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo),試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。學(xué)生展開充分的討論,不少學(xué)生運(yùn)用平面解析幾何中學(xué)過的知識(如兩點(diǎn)間的距離公式、斜率、直線方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等),結(jié)合平行四邊形的性質(zhì),提出了各種不同的解法,有的學(xué)生應(yīng)用共線向量的概念給出了解法,還有一些學(xué)生運(yùn)用學(xué)過的向量坐標(biāo)的概念,把點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)聯(lián)系起來,巧妙地解答了這一問題。除此之外,我通過反例、錯解等進(jìn)行辨析,有利于學(xué)生鞏固概念。高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)提出了與時俱進(jìn)地認(rèn)識“雙基”的基本理念,概念教學(xué)是數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)的重要組成部分。所以,通過數(shù)學(xué)概念教學(xué),使學(xué)生認(rèn)識概念、理解概念、鞏固概念,是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的根本目的。

篇（3）

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念概念教學(xué)階段數(shù)學(xué)思維層次分析

概念是客觀事物本質(zhì)屬性、特征在人們頭腦中的反映。數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)概念的教學(xué)，正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提，是學(xué)好定理、公式、法則和數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)，搞清概念是提高解題能力的關(guān)鍵。在新一輪課改理念的引領(lǐng)下，結(jié)合我的教學(xué)實(shí)踐，就數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有關(guān)問題與大家共同探討。

一、新舊理念下數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式的層次分析。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)大多采用“屬+種差”的概念同化方式進(jìn)行。通常分為

以下幾個步驟：

1、揭示概念的本質(zhì)屬性，給出定義、名稱和符號；

2、對概念的進(jìn)行特殊分類，揭示概念的外延；

3、鞏固概念，利用概念解決的定義進(jìn)行簡單的識別活動；

4、概念的應(yīng)用與聯(lián)系，用概念解決問題，并建立所學(xué)概念與其他概念間的

聯(lián)系。

這種教學(xué)過程簡明，使學(xué)生可以比較直接地學(xué)習(xí)概念，節(jié)省時間，被稱為是“學(xué)生獲得概念的最基本方式”。但是，僅從形式上做邏輯分析讓學(xué)生理解概念是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。數(shù)學(xué)概念具有過程——對象的雙重性，既是邏輯分析的對象，又是具有現(xiàn)實(shí)背景和豐富寓意的數(shù)學(xué)過程。因此，必須返璞歸真，揭示數(shù)學(xué)概念的形成過程，讓學(xué)生從概念的現(xiàn)實(shí)原型、概念的抽象過程、數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)作用、形式表述和符號化的運(yùn)用等多方位理解一個數(shù)學(xué)概念，使之符合學(xué)生主動建構(gòu)的教育原理。

美國教育心理學(xué)家布魯納曾指出：“獲得的知識如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)將它聯(lián)系在一起，那是一個多半會被遺忘的知識。一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促的可憐的壽命?！本蛿?shù)學(xué)概念教學(xué)而言，素質(zhì)教育提倡的是為理解而教。新課改理念下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)要經(jīng)過四個階段：

1、活動階段。

2、探究階段。

3、對象階段。

4、圖式階段。

以上四個階段反映了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中真實(shí)的思維活動。其中的“活

動”階段是學(xué)生理解概念的一個必要條件，通過“活動”讓學(xué)生親身體驗(yàn)、感受直觀背景和概念間的關(guān)系；“探究”階段是學(xué)生對“活動”進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、概括過程，學(xué)生在頭腦對活動進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì)；“對象”階段是通過前面的抽象認(rèn)識到了概念本質(zhì)，對其進(jìn)行“壓縮”并賦予形式化的定義及符號，使其達(dá)到精致化，成為一個思維中的具體的對象，在以后的學(xué)習(xí)中以此為對象進(jìn)行新的活動；“圖式”的形成是要經(jīng)過長期的學(xué)習(xí)活動進(jìn)一步完善，起初的圖式包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號，經(jīng)過學(xué)習(xí)，建立起與其它概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式

二、新課改理念下的概念與法則的教學(xué)案例。

1、代數(shù)式概念

代數(shù)式（字母表示數(shù)）概念一直是學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)過程中的難點(diǎn)，有很多學(xué)生

學(xué)過后只能記住代數(shù)式的形式特征，不能理解字母表示數(shù)的意義。代數(shù)式的本質(zhì)在于將求知數(shù)和數(shù)字可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算。認(rèn)識這一點(diǎn)，需要有以下四個層次。

（1）通過操作活動，理解具體的代數(shù)式

問題一：讓學(xué)生用火柴棒按下面的方式搭正方形，并請?zhí)顚懞孟卤恚?/p>

正方形個數(shù)

1

2

3

4

……

100

……

n

火柴棒根數(shù)

問題二：有一些矩形，長是寬的3倍，請?zhí)顚懴卤恚?/p>

寬

1

4

7.5

11

長

周長

面積

通過以上兩個問題，讓學(xué)生初步體會“同類意義”的數(shù)表示的各種關(guān)系。

（2）探究階段，體驗(yàn)代數(shù)式中過程。

針對活動階段的情況，可提出一些問題讓學(xué)生討論探究：

①問題一中3n+1，與具體的數(shù)有什么樣的關(guān)系？

②把各具體字母表示的式子作為一個整體，具有什么樣的特征和意義？（需

經(jīng)反復(fù)體驗(yàn)、反思、抽象代數(shù)式特征：一種運(yùn)算關(guān)系；字母表示一類數(shù)等）。

這一階段還包括列代數(shù)式和對代數(shù)式求值，可設(shè)計下題讓學(xué)生進(jìn)一步體會代

數(shù)式的特征：

①每包書有12冊，n包書有________冊。

②溫度由t℃下降2℃后是_________℃。

③一個正方形的邊長是x，那么它的面積是_________。

④如果買x平方米的地毯（每平方米a元），又付y立方米自來水費(fèi)（每立方米b元），共花去_______________元錢？

（3）對象階段，對代數(shù)式的形式化表述。

這一階段包括建立代數(shù)式形式定義、對代數(shù)式的化簡、合并同類項(xiàng)、因式分

解及解方程等運(yùn)算。學(xué)生在進(jìn)行運(yùn)算中就意識到運(yùn)算的對象是形式化的代數(shù)式而不是數(shù)，代數(shù)式本身體現(xiàn)了一種運(yùn)算結(jié)構(gòu)關(guān)系，而不只是運(yùn)算過程。這一階段，學(xué)生必須理解字母的意義，識別代數(shù)式。

（4）圖式階段，建立綜合的心理圖式。

通過以上三個階段的教學(xué)，學(xué)生在頭腦中應(yīng)該建立起如下的代數(shù)式的心理表

征：具體的實(shí)例、運(yùn)算過程、字母表示一類數(shù)的數(shù)學(xué)思想、代數(shù)式的定義，并能加以運(yùn)用。

2、有理數(shù)加法法則

（1）運(yùn)算操作：計算一個足球隊(duì)在一場足球比賽時的勝負(fù)可能結(jié)果的各種

不同情形：

(+3)+(+2)——+5(-2)+(-1)——-3

(+3)+(-2)——+1(-3)+(+2)——-1

(+3)+0——+3…………

（其中每個和式中的兩個有理數(shù)是上、下半場中的得分?jǐn)?shù)）。

（2）探究規(guī)律：把以上算式作為整體綜合進(jìn)行特征分析：同號相加、異號相加、一個數(shù)與零相加等的過程和結(jié)果對照總結(jié)規(guī)律，理解運(yùn)算意義。

（3）形成對象：把各種規(guī)律綜合在一起成為一完整的有理數(shù)加法法則，并產(chǎn)生有理數(shù)和的模式：

有理數(shù)+有理數(shù)=①符號②數(shù)值

這一階段還包括按照有理數(shù)和的模式及具體的運(yùn)算律進(jìn)行任意的有理數(shù)和的運(yùn)算和代數(shù)式求值的運(yùn)算等。

（4）形成圖式：有理數(shù)加法法則以一種綜合的心理圖式建立在學(xué)生的頭腦中，其中有具體的足球比賽的實(shí)例、有抽象的操作過程、有完整的運(yùn)算律和形成的模式。而且通過以后的學(xué)習(xí)獲得和其他概念、規(guī)則的區(qū)別與聯(lián)系。

三、兩種教學(xué)模式下學(xué)生學(xué)習(xí)方式的對比分析。

與新課改理念相比，傳統(tǒng)的教學(xué)模式下學(xué)生的學(xué)習(xí)缺少“活動”階段，對概念的形成過程沒有充分體驗(yàn)，學(xué)生數(shù)學(xué)概念的建立靠教師代替快體驗(yàn)、快抽象。反映出的情況有：

（1）過快的抽象過程使得只能有一少部分學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)，難以引發(fā)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，大部分學(xué)生理解不了數(shù)學(xué)概念，只能靠死記硬背。例如學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)運(yùn)算很長時間，還經(jīng)常出現(xiàn)符號運(yùn)算錯誤，這就是學(xué)生對有理數(shù)運(yùn)算沒有理解而造成的。

（2）由教師代替學(xué)生快體驗(yàn)、快抽象出數(shù)學(xué)概念，即使是能跟隨教師進(jìn)行有意義學(xué)習(xí)的學(xué)生其學(xué)習(xí)活動也是不連貫的，建構(gòu)的概念缺乏完整性。例如學(xué)生學(xué)習(xí)了代數(shù)式的概念，經(jīng)常出現(xiàn)a+a+a×2=3a×2,25x-4=21x,5yz-5z=y等錯誤，這是因?yàn)閷W(xué)生沒有進(jìn)行必要的“活動”，使“探究”的體驗(yàn)不完整需用造成的。又如在求解方程中出現(xiàn)(x+2)2=1=x2+4x+4=1=……等錯誤，說明學(xué)生還停留于運(yùn)算過程層面，對方程對象的結(jié)構(gòu)特征不理解。

（3）學(xué)生建構(gòu)概念的圖式層面是學(xué)習(xí)的最高階段，在現(xiàn)有教學(xué)環(huán)境下很多學(xué)生難以達(dá)到這一層面。例如，為什么要學(xué)習(xí)解方程？解方程的本質(zhì)是什么？

四、新課改理念下數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略。

新課改理念下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)是由學(xué)生活動、探究到對象、圖式的學(xué)習(xí)過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識形成的規(guī)律性。為此，我結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐對數(shù)學(xué)概念教學(xué)采取以下策略：

（1）教師要把“教”建立在學(xué)生“學(xué)”的活動中。

為了使學(xué)生建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)知識，首先要設(shè)計學(xué)生的學(xué)習(xí)活動。這需要教師創(chuàng)設(shè)問題情境，設(shè)計時要注意以下幾個方面：①能揭示數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實(shí)背景和形成過程；②適合學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，使學(xué)習(xí)活動能順利展開；③適當(dāng)數(shù)量的問題，使學(xué)生有充足活動體驗(yàn)；④注意趣味性，活動形式可以多種多樣，引起全體學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（2）體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識形成中的數(shù)學(xué)思維方法。

數(shù)學(xué)思維方法是知識產(chǎn)生的靈魂，把握數(shù)學(xué)知識形成中的數(shù)學(xué)思維方法，是學(xué)生展開思維、建構(gòu)概念的主線。學(xué)生學(xué)習(xí)中要給予提示、建議并在總結(jié)中歸納。另外，要設(shè)計能引起學(xué)生反思的提問，如“你的結(jié)果是什么？”“你是怎樣得出的？”“你為什么怎樣做？”……使學(xué)生能順利完成由“活動”到“探究”，“探究”到“對象”的過渡。

篇（4）

數(shù)學(xué)概念是關(guān)于對象的數(shù)和形的某一類本質(zhì)屬性的整體反映。它用簡練、精確的文字指出了定義的對象最顯明、最基本的本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)知識就是由一些最基本的概念組成。所以概念是數(shù)學(xué)邏輯的起點(diǎn),是數(shù)學(xué)的濃縮,是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基石。以數(shù)學(xué)概念為載體,教師通過相關(guān)的數(shù)學(xué)思維過程訓(xùn)練,能培養(yǎng)學(xué)生主動獲取知識及數(shù)學(xué)化思考的能力。然而在日常教學(xué)中,教師經(jīng)常三言兩語簡單地介紹,然后舉幾個關(guān)于概念應(yīng)用的例子。學(xué)生不能透徹理解概念,更談不上靈活應(yīng)用了。數(shù)學(xué)概念是關(guān)于對象的數(shù)和形的某一類本質(zhì)屬性的整體反映,它在數(shù)學(xué)教與學(xué)中有著舉足輕重的地位。在概念教學(xué)中,教師應(yīng)有效地創(chuàng)設(shè)問題情境,將學(xué)生組織到問題情境中去,引導(dǎo)他們分析,探討問題,解決問題,幫助他們歸納,提煉概念的本質(zhì)屬性,最終獲得概念,形成概念系統(tǒng)。

一、創(chuàng)設(shè)情境,形成新概念

動機(jī)是喚醒和推動創(chuàng)造行為的原動力。數(shù)學(xué)創(chuàng)造的動機(jī)可分為外部動機(jī)和內(nèi)部動機(jī)。外部動機(jī)源自生產(chǎn)實(shí)際、日常生活中的問題對數(shù)學(xué)家的挑戰(zhàn)。而內(nèi)部動機(jī)來自數(shù)學(xué)活動中人們對數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)美的追求。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們可以從數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價值和數(shù)學(xué)自身魅力兩方面激發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的動機(jī)。從這種意義上說,創(chuàng)設(shè)情境具有情感上的吸引,容易使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣,形成尋求問題的心向。

1.在實(shí)驗(yàn)操作情境中形成概念。

實(shí)驗(yàn)操作具有較強(qiáng)的活動性,最能體現(xiàn)在“做中學(xué)”的思想。教師應(yīng)通過有趣的實(shí)驗(yàn)操作,不失時機(jī)地提出問題,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察,積極思考,分析問題,解決問題,從而得出有關(guān)數(shù)學(xué)概念。我在講解橢圓定義時,事先讓每位同學(xué)準(zhǔn)備一段沒有彈性的線,同桌的兩位同學(xué)合作,將線的兩端固定,用筆沿著線畫出圖像。學(xué)生得出的圖像有橢圓,也有線段。我引導(dǎo)學(xué)生,分析試驗(yàn)中的要素,得出橢圓的定義。

2.在生活情境中感悟概念。

數(shù)學(xué)概念,尤其是初等數(shù)學(xué)概念,雖然是高度抽象后形式化的產(chǎn)物,但仍然有許多蘊(yùn)含著豐富的生活含義。在教學(xué)中,教師要充分運(yùn)用直觀的方法,使抽象的數(shù)學(xué)概念成為看得見、摸得著、想得來的東西,成為學(xué)生能親身體驗(yàn)的東西,讓學(xué)生借助自己的親身感受,在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上,通過分析、比較、綜合、抽象和概括等思維活動,建構(gòu)概念的意義。如在講解圓的概念時,我先提問:車輪是什么形狀的?學(xué)生都能回答是圓的。接著,我提問為什么車輪都要做成圓的,能不能做成橢圓?如果由你來做車輪,需要注意什么?學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn),得出如果做成橢圓的車子開起來會一高一低,因?yàn)檐囕喩厦恳稽c(diǎn)到軸心長度不一樣,只有做成圓形的,車輪上的每一點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸心的長度才相等。通過對這些問題的討論,學(xué)生達(dá)到了對圓的本質(zhì)屬性的理解,在這基礎(chǔ)上引入圓的定義。又如在講解空間解析幾何中的三個坐標(biāo)平面將空間分為8個部分,很多學(xué)生想象不出來,我事先提出將一個西瓜切三刀,至多能切幾片?在這基礎(chǔ)上,學(xué)生很容易接受。

3.在問題情境中建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。

問題可以引起學(xué)生的認(rèn)知失調(diào),提高問題的關(guān)注,激發(fā)解決問題的動機(jī),尋求解決的方法。在學(xué)習(xí)等差數(shù)列時,我常用幾個有規(guī)律的數(shù)列讓學(xué)生觀察歸納,從而引出定義。

二、揭示概念的內(nèi)涵和外延,加深對概念的理解

1.采用類比,加深概念的理解。

對類似的概念進(jìn)行比較,為確定共同特征和發(fā)現(xiàn)差異提供了可能,這有助于進(jìn)一步理解新概念的本質(zhì),更牢固地記住概念和避免錯誤。在學(xué)習(xí)立體幾何時,我們可以通過平面與空間的類比,引導(dǎo)學(xué)生猜想出許多空間圖形的性質(zhì)。例如,由平面內(nèi)直線a∥b,b∥c,則a∥c,可類比出空間內(nèi)的平面α∥β,β∥γ,則α∥γ;與平行四邊形類比可推出平行六面體的不少類似性質(zhì);球與圓類比可推出兩球相切等球的有關(guān)性質(zhì);“面面垂直”與“線線垂直”,平面上兩點(diǎn)間的距離與空間中兩點(diǎn)間的距離等較多的類似性質(zhì)等。

2.進(jìn)行對比,鞏固概念的理解。

在數(shù)學(xué)中,概念非常多,而且很相似。學(xué)生學(xué)習(xí)起來易產(chǎn)生混淆。采用對比法,可幫助學(xué)生加深對概念的理解,如指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù),對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù),排列與組合。教師可通過分析它們的區(qū)別,從而使學(xué)生分清各函數(shù)的性質(zhì),以便利用性質(zhì)解題。把新概念與舊概念對照起來講,這樣不僅能使學(xué)生比較順利地接受、理解新概念,而且能使學(xué)生從中看到新舊概念之間的區(qū)別與聯(lián)系,對理解新舊概念都有幫助。如函數(shù)概念是反函數(shù)概念的基礎(chǔ),對于反函數(shù)概念的理解,是在函數(shù)概念的基礎(chǔ)上,因?yàn)榉春瘮?shù)也是函數(shù),符合函數(shù)的概念。學(xué)生通過學(xué)習(xí)反函數(shù),又加深了對函數(shù)概念的理解。因此運(yùn)用對比法進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué),尤其是對于相似的數(shù)學(xué)概念非常有效。

3.數(shù)形結(jié)合,加深概念的理解。

教師利用數(shù)形結(jié)合可將代數(shù)與幾何問題相互轉(zhuǎn)化,使得抽象的問題形象化,幫助學(xué)生理解看不見摸不著的概念。如在講解一元二次不等式時,我注重對一元二次函數(shù)圖像的講解。在學(xué)生做練習(xí)時,我要求每位學(xué)生畫出該不等式所對應(yīng)的函數(shù)圖像,根據(jù)圖像進(jìn)行解題,而不是死記硬背結(jié)論。我通過函數(shù)圖像的講解,讓學(xué)生學(xué)會了“看圖說話”,在以后的指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)的教學(xué)中,使學(xué)生利用函數(shù)圖像很容易掌握相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)。

三、注重應(yīng)用,加深對概念的理解,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力

對數(shù)學(xué)概念的深刻理解,是提高學(xué)生解題能力的基礎(chǔ);反之,也只有通過解題,學(xué)生才能加深對概念的認(rèn)識,才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的內(nèi)涵和外延。課本中直接運(yùn)用概念解題的例子很多,教師在教學(xué)中要充分利用。同時,對學(xué)生在理解方面易出錯誤的概念,要設(shè)計一些有針對性的題目,通過練習(xí)、講評,使學(xué)生對概念的理解更深刻、更透徹。

四、形成系統(tǒng),形成概念系統(tǒng)

任何概念都不是孤立存在的,概念之間有著嚴(yán)密的系統(tǒng)性。如果學(xué)生只是孤立地、片面地了解一些零星的概念,那就不可能獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識,對數(shù)學(xué)概念本身也會缺乏深刻的理解。因此,教師必須在概念系統(tǒng)中教會概念,使學(xué)生更好地掌握概念。在一個階段的教學(xué)之后,教師可以對學(xué)生學(xué)過的概念盡可能地進(jìn)行系統(tǒng)分類,使學(xué)生更好地理解各概念之間的聯(lián)系,幫助學(xué)生建構(gòu)起良好的知識結(jié)構(gòu),形成系統(tǒng)。在這一階段教師要引導(dǎo)學(xué)生對課堂教學(xué)內(nèi)容及方法作適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)。一是建立新知識的內(nèi)在聯(lián)系,并納入原有的知識系統(tǒng),形成知識結(jié)構(gòu);二是對研究問題的方法進(jìn)行回顧、反思。例如在學(xué)完拋物線后,及時讓學(xué)生總結(jié)圓錐曲線的概念。

總之,數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)強(qiáng)調(diào)概念的形成過程。教師要從問題出發(fā),給出基本事實(shí)、實(shí)際背景,引導(dǎo)學(xué)生從中分析、抽象、概括出數(shù)學(xué)概念,讓學(xué)生有條件去經(jīng)歷再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程,獲得良好的數(shù)學(xué)訓(xùn)練,使他們真正理解、掌握,并能應(yīng)用這些概念。

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篇（5）

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）11-0016

數(shù)學(xué)概念是對客觀事物的數(shù)量關(guān)系、空間形式或結(jié)構(gòu)關(guān)系的特征概括，是對一類數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的真實(shí)反映。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)既是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心所在。因此，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中起著舉足輕重的作用，我們應(yīng)該重視概念教學(xué)的這種不可替代的功能。那么，怎樣在數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行優(yōu)化的概念教學(xué)呢？下面，筆者就結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐來談幾點(diǎn)看法。

一、數(shù)學(xué)概念的合理引入

概念的引入是進(jìn)行概念教學(xué)的第一步，這一步走得如何，對學(xué)生學(xué)好概念至關(guān)重要。

1. 用具體實(shí)例、實(shí)物或模型進(jìn)行介紹

學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念的首要條件是獲得十分豐富且合乎實(shí)際的感性材料。教師在進(jìn)行概念教學(xué)時，應(yīng)密切聯(lián)系概念的現(xiàn)實(shí)原型，使學(xué)生在觀察有關(guān)實(shí)物的同時，獲得對所研究對象的感性認(rèn)識。在此基礎(chǔ)上，逐步上升至理性認(rèn)識，進(jìn)而提出概念的定義，建立新的概念。例如，在引入“函數(shù)”概念時，可以通過：（1）炮彈發(fā)射時，炮彈距地面的高度h（單位：m）隨時間t（單位：s）變化的規(guī)律h=130t-5t2；（2）溫州某一天的氣溫隨時間的變化規(guī)律；（3）從1990-2008年梧田鎮(zhèn)居民生活水平的變化規(guī)律。這樣有利于學(xué)生更好地理解概念，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極主動性。

2. 在學(xué)生思維矛盾中引入新概念

由于學(xué)生利用舊有的知識解決問題會產(chǎn)生困難，因此，教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的積極性。如在“分層抽樣”的概念教學(xué)中，通過問題：一個單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲- 49歲的有280人，50歲以上的有95人，為了解這個單位職工身體狀況有關(guān)的某項(xiàng)指標(biāo)，從中抽取一個容量為100的樣本，應(yīng)如何抽?。吭诮處熞龑?dǎo)下，學(xué)生經(jīng)過討論，很快就達(dá)成共識：簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣均不合理，應(yīng)尋求新的抽樣方法。展示出新舊知識的矛盾，從而引入解決該問題更為合理的抽樣方法：分層抽樣。這樣，學(xué)生不僅能正確地理解分層抽樣的定義，而且還會發(fā)現(xiàn)這三種抽樣方法的差異。

3. 用類比方法引入概念

當(dāng)面對一個概念時，如果學(xué)生沒有直接相關(guān)的知識，就可以通過類比的方法把不直接相關(guān)的知識經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用到當(dāng)前的問題中，類比是引入新概念的一種重要方法。例如，立體幾何問題往往有賴于平面幾何的類比，空間向量往往有賴于平面向量的類比。通過這樣的類比教學(xué)和訓(xùn)練，使學(xué)生對概念的認(rèn)識有一個升華。

4. 從數(shù)學(xué)本身發(fā)展需要引入概念

從數(shù)學(xué)的內(nèi)在需要引入概念也是引入數(shù)學(xué)概念的常用方法之一，這樣的例子隨處可見。例如，整個數(shù)學(xué)體系的建立過程就體現(xiàn)了這一點(diǎn)：在小學(xué)里學(xué)習(xí)的“數(shù)”的基礎(chǔ)上，為解決“數(shù)”的減法中出現(xiàn)的問題，必須引入負(fù)數(shù)概念。隨著學(xué)習(xí)的深入，單純的有理數(shù)已不能滿足需要，必須引入無理數(shù)。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，方程x2+1=0顯然沒有解，為了使它有解，就引入了新數(shù)i，它滿足i2=-1，并且和實(shí)數(shù)一起可以按照通常的四則運(yùn)算法則進(jìn)行計算，于是引入了復(fù)數(shù)的概念。

二、數(shù)學(xué)概念的建立和形成

數(shù)學(xué)概念是多結(jié)構(gòu)、多層次的。理解和掌握數(shù)學(xué)概念，應(yīng)遵循由具體到抽象，由低級到高級，由簡單到復(fù)雜的認(rèn)知規(guī)律。因此，一個數(shù)學(xué)概念的建立和形成，應(yīng)該通過學(xué)生的親身體驗(yàn)、主動構(gòu)建，通過分析、比較、歸納等方式，揭示出概念的本質(zhì)屬性，形成完整的概念鏈，從而加強(qiáng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，形成學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。筆者認(rèn)為可以從以下幾方面給予指導(dǎo)：

1. 分析構(gòu)成概念的基本要素

數(shù)學(xué)概念的定義是用精練的數(shù)學(xué)語言概括表達(dá)出來的，在教學(xué)中，抽象概括出概念后，還要注意分析概念的定義，幫助學(xué)生認(rèn)識概念的含義。如為了使學(xué)生能更好地掌握函數(shù)概念，我們必須揭示其本質(zhì)特征，進(jìn)行逐層剖析。對定義的內(nèi)涵要闡明三點(diǎn)：（1）x、y的對應(yīng)變化關(guān)系。例如在“函數(shù)的表示方法”一節(jié)例4的教學(xué)，教師要講明并強(qiáng)調(diào)每位同學(xué)的“成績”與“測試時間”之間形成函數(shù)關(guān)系，使學(xué)生明白并非所有的函數(shù)都有解析式，由此加深學(xué)生對函數(shù)的“對應(yīng)法則”的認(rèn)識。（2）實(shí)質(zhì)：每一個x值，對應(yīng)唯一的y值，可例舉函數(shù)講解：y=2x，y=x2，y=2都是函數(shù)，但x、y的對應(yīng)關(guān)系不同，分別是一對一、二對一、多對一，從而加深對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識。再通過圖象顯示，使學(xué)生明白，并非隨便一個圖形都是函數(shù)的圖象，從而掌握能成為一個函數(shù)圖象的圖形的條件特征。（3）定義域、值域、對應(yīng)法則構(gòu)成函數(shù)的三素，缺一不可，但要特別強(qiáng)調(diào)定義域的重要性。由于學(xué)生學(xué)習(xí)解析式較早，比較熟悉，他們往往只關(guān)注解析式，忽略定義域而造成錯誤。為此，可讓學(xué)生比較函數(shù)y=2x，y=2x（x>0），y=2x（x∈N）的不同并分別求值域，然后結(jié)合圖象分析得出：三者大相徑庭！強(qiáng)調(diào)解析式相同但定義域不同的函數(shù)決不是相同的函數(shù)。再結(jié)合分段函數(shù)和有實(shí)際意義的函數(shù)，以引導(dǎo)他們對實(shí)際問題的關(guān)注和思考。

2. 抓住要點(diǎn)，促進(jìn)概念的深化

揭示概念的內(nèi)涵不僅由概念的定義完成，還常常由定義所推出的一些定理、公式得到進(jìn)一步揭示。如在三角函數(shù)定義教學(xué)中，同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)值的符號規(guī)律、兩角和與差的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)都是由定義推導(dǎo)出來的，可使學(xué)生清楚地看到概念是學(xué)習(xí)其他知識的依據(jù)，反過來又會使三角函數(shù)定義的內(nèi)涵得到深刻揭示，加深對概念的理解，增強(qiáng)運(yùn)用概念進(jìn)行推理判斷的思維能力。在教學(xué)中，教師應(yīng)有意識地啟發(fā)學(xué)生提高認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生從概念出發(fā)，逐步深入展開對它所反映的數(shù)學(xué)模式作深入的探究，以求更深刻地認(rèn)識客觀規(guī)律。

3. 運(yùn)用比較， 區(qū)分異同

許多數(shù)學(xué)概念，由于表示它們的符號、詞語和概念本身的含義相似，可能產(chǎn)生概念間的互相干擾、互相混淆。在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸類比較，分析兩種概念的從屬關(guān)系，區(qū)分它們的異同之處。如，充分條件與必要條件；排列與組合；三棱錐與四面體；否命題與命題的否定等等，從而促進(jìn)學(xué)生對概念的本質(zhì)有更深刻的認(rèn)識。

三、數(shù)學(xué)概念的鞏固與運(yùn)用

數(shù)學(xué)概念的深刻理解并牢固掌握，其目的是為了能夠靈活、正確地運(yùn)用它。同時，在運(yùn)用的過程中，又能更進(jìn)一步地深化對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)的理解。為此，在教學(xué)中應(yīng)采用多種形式，引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)算、推理、證明及解決問題的過程中運(yùn)用數(shù)學(xué)概念。

1. 通過反例辯析，及時鞏固概念

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多數(shù)學(xué)概念（如函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的定義等）都采用正面闡述的形式，而這些重要概念是解題的基礎(chǔ)，若學(xué)生對其本質(zhì)屬性含糊不清，就會在解題過程中混淆、偷換概念，造成解題失誤。為了準(zhǔn)確把握概念的本質(zhì)，可以利用反例來加深對概念的理解。如：

例：下列圖形中，不可能是函數(shù)y=f（x）的圖象是（ ）

通過觀察、比較，學(xué)生們認(rèn)識到：對于x在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照某種對應(yīng)法則，變量都是唯一確定的值和它對應(yīng)，這才是構(gòu)成函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)。所以只能選A。

又如在教學(xué)“導(dǎo)數(shù)”這一章時，教材中是用割線的極限位置來定義切線的，為此，可以提出以下問題：為什么不說“與曲線只有一個公共點(diǎn)的直線叫做切線”？直線與曲線相切，是否一定只有一個公共點(diǎn)？對于這兩個問題都要通過構(gòu)造反例進(jìn)行研究，前一個問題的反例是：拋物線y2=2px（p>0）與x軸、y軸都只有一個公共點(diǎn)，但只有y軸是它的切線，x軸顯然不是它的切線；或者與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線也只有一個公共點(diǎn)。但它也不是其切線，因此與曲線只有一個公共點(diǎn)的直線不一定是切線，它只符合圓、橢圓等一類曲線。后一個問題也可以舉出下列反例，已知曲線C：y=■x3?？汕蟪銮€C上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)處的切線方程是12x-3y-16=0，但它與曲線C的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)外，還有另外一個公共點(diǎn)是（-4，-■）。通過此例可以說明：直線與曲線相切不一定只有一個公共點(diǎn)。當(dāng)曲線是二次曲線時，能夠保證直線與曲線相切有且只有一個公共點(diǎn)。所以，若能舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢右哉f明， 會起到正面強(qiáng)調(diào)所無法發(fā)揮的強(qiáng)化作用，使概念理解得更加深刻。

2. 通過開放性問題與變式， 深入理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念形成之后，通過開放性問題，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度理解概念。這將影響學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的鞏固以及解題能力的形成。如在“等比數(shù)列”中設(shè)置問題：

例：已知{an }是等比數(shù)列且公比為q，請你構(gòu)造出新的等比數(shù)列，并指出它們的公比。

變式：已知{an }，{bn }是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，公比分別為p，q，請你構(gòu)造出新的等比數(shù)列，并指出它們的公比。

通過學(xué)生的討論與辨析，讓學(xué)生對等比數(shù)列的概念有了一個更深入的理解與認(rèn)識。

3. 將所學(xué)概念納入到相應(yīng)的概念體系，形成一個整體

因?yàn)槿魏螖?shù)學(xué)概念都不是孤立存在的，前后概念之間彼此聯(lián)系密切，所以掌握概念必須在概念體系中把握。如在“拋物線的定義”教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生將橢圓、雙曲線與拋物線概念的本質(zhì)屬性進(jìn)行比較，把焦點(diǎn)和相應(yīng)準(zhǔn)線相同的三種曲線在同一個圖形中作出，使學(xué)生了解到三種曲線之間的邏輯關(guān)系，并把拋物線概念與橢圓、雙曲線一起納入到了圓錐曲線的概念體系中，形成一個整體。通過建立概念鏈或概念網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，從而使所學(xué)概念類化。

4. 通過解決實(shí)際問題，深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)

很多數(shù)學(xué)概念都有其實(shí)際背景，它的產(chǎn)生必然離不開現(xiàn)實(shí)世界，離不開生活實(shí)際。反過來，在概念形成后，學(xué)會在實(shí)際問題中運(yùn)用所學(xué)概念，這也是深入理解概念本質(zhì)的有效途徑。如學(xué)習(xí)“等比數(shù)列”概念之后，可解決實(shí)際問題：“今有出門望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各有幾何？利用統(tǒng)計中的“方差”概念，通過對幾組數(shù)據(jù)的分析，判斷某事件（如射擊、成績、機(jī)器性能等）的穩(wěn)定性等等，通過解決這些實(shí)際問題，能夠極大地提高學(xué)生運(yùn)用概念的靈活性，并對概念的本質(zhì)有更深入的理解。

總之，在概念教學(xué)中，要根據(jù)課標(biāo)對概念教學(xué)的具體要求，創(chuàng)造性地使用教材。優(yōu)化概念教學(xué)設(shè)計，把握概念教學(xué)過程，真正使學(xué)生在參與的過程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗(yàn)和創(chuàng)造。

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳敏.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的取向與定位[J].數(shù)學(xué)通報，2012（8）.

篇（6）

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)概念；教學(xué)

恩格斯說：“在一定意義上，科學(xué)的內(nèi)容就是概念的體系?！睌?shù)學(xué)概念是整個數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)，是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷、證明的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn)。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)既是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，其根本任務(wù)是準(zhǔn)確地揭示概念的內(nèi)涵與外延，是學(xué)生思考問題、推理證明有所依據(jù)，能有創(chuàng)見地解決問題?？梢哉f掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)也相應(yīng)稱為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐表明數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)中既不易教也不易學(xué)的內(nèi)容。在數(shù)學(xué)教學(xué)中要自始至終抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性及其內(nèi)部聯(lián)系，就要了解概念的體系，關(guān)注概念的引入，剖析概念的本質(zhì)，掌握概念的符號，重視概念的鞏固。

一、了解概念的體系

數(shù)學(xué)概念是導(dǎo)出全部數(shù)學(xué)定理、法則的邏輯基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念是相互聯(lián)系、由簡到繁而形成的學(xué)科體系。人們認(rèn)識事物的本質(zhì)特征通常不可能一次性孤立完成。事實(shí)上，學(xué)生“獲得的知識，如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)把他聯(lián)系在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。一連串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促的可憐的壽命”。因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要弄清楚學(xué)習(xí)這個概念需要怎樣的基礎(chǔ)，分析這個概念以后有何用處，它的地位和作用如何。這樣，在講授時就能主次分明，輕重得當(dāng)，既復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)過的概念，又為后繼概念作恰當(dāng)?shù)脑蟹?。例如，“絕對值”是貫穿整個中學(xué)數(shù)學(xué)的重要概念，先是在有理數(shù)中引入；接著在算術(shù)根中出現(xiàn)了，把絕對值得概念拓展到實(shí)數(shù)范圍；最后在復(fù)數(shù)中，絕對值的概念擴(kuò)展成了復(fù)數(shù)的模

二、關(guān)注概念的引入

傳統(tǒng)的概念教學(xué)將獲得知識結(jié)論作為主要目標(biāo)，忽視了學(xué)生在知識形成過程中的重要作用，使學(xué)生的學(xué)習(xí)行為更多的表現(xiàn)為機(jī)械記憶，而不是理性分析。根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論學(xué)習(xí)應(yīng)是認(rèn)知主體的內(nèi)部心理過程，學(xué)生是信息加工的主體。高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)中提出了“過程與方法”這一教學(xué)目標(biāo)維度，在這一維度下，新課程對學(xué)生的學(xué)習(xí)要求從原來的“知識性”向“過程性”轉(zhuǎn)變。概念的引入是進(jìn)行概念教學(xué)的第一步，這一步走得如何，對學(xué)好概念有重要的作用。

1.提供現(xiàn)實(shí)原型。著名教育家杜威曾說：“教學(xué)絕對不僅僅是簡單地告訴，教學(xué)應(yīng)該是一種過程的經(jīng)歷，一種體驗(yàn)，一種感悟?！睌?shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)立足教材，著眼學(xué)生的發(fā)展，把握核心知識內(nèi)容，有效開展自主探究活動，向?qū)W生展示本質(zhì)，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的形成過程。形成準(zhǔn)確概念的首要條件，是使學(xué)生獲得十分豐富和合乎實(shí)際的感性材料。因此，在教學(xué)中要密切聯(lián)系數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)原型，引導(dǎo)學(xué)生分析日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中常見的事例，觀察有關(guān)的實(shí)物、圖示、模型，在具有充分的感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上引入概念。例如在“異面直線”概念的教學(xué)中，教師應(yīng)先展示概念產(chǎn)生的背景，如在粉筆盒這樣一個長方體模型中，當(dāng)學(xué)生找出兩條既不平行又不相交的直線時，教師告訴學(xué)生像這樣的兩條直線稱之為異面直線，接著教師可提出問題“什么是異面直線呢？”可讓學(xué)生進(jìn)行討論，嘗試敘述，再進(jìn)行反復(fù)修改可得出異面直線的簡明、準(zhǔn)確而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x“我們把不在任何一個平面上的兩條直線稱為異面直線”。再讓學(xué)生找出教室中的異面直線，再以平面為襯托作出異面直線的圖，這樣學(xué)生對異面直線的概念就有了一個較為明確的認(rèn)識，同時也讓學(xué)生經(jīng)歷了概念發(fā)生發(fā)展過程的體驗(yàn)。

2.從數(shù)學(xué)內(nèi)在需要引入概念。例如，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，方程x2+1=0沒有解，為了使它有解，就引入了一個新數(shù)i，i滿足i2=-1，它和實(shí)數(shù)一起可以按照通常的四則運(yùn)算法則，進(jìn)行計算。由此再引入復(fù)數(shù)的概念。于是方程x2+1=0就有解了。

3.用類比的方法引入概念。類比不僅是思維的一種重要形式，而且是引入新概念的一種重要方法。任何數(shù)學(xué)概念必定有與之相關(guān)的最近概念，因此教學(xué)中要以學(xué)生已掌握了的知識為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生探求新舊概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，通過類比教學(xué)引出新概念。例如，二面角可類比平面角引入，平面與平面的位置關(guān)系可類比平面上直線與直線的位置關(guān)系引入，平面向量加法的三角形法則、平行四邊形法則概念的引入可以與物理學(xué)科中的位移的合成、力的合成進(jìn)行類比引入等。

三、剖析概念的本質(zhì)

概念在人們頭腦中形成，僅是人們對概念認(rèn)識的開始，對概念認(rèn)識的深化必須從概念的內(nèi)涵與外延上作深入的剖析。概念的內(nèi)涵是指反映在概念中的對象的本質(zhì)特征。概念的外延是指具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對象。內(nèi)涵是概念的質(zhì)的方面，即概念所反映的事物是什么樣子的。外延反映的是概念的量的方面，即概念的適用范圍，它說明概念反映的是哪些實(shí)物。以三角函數(shù)的概念為例，對六個基本三角函數(shù)的定義，應(yīng)抓住其中一個，如正弦函數(shù)sinα=y，可這樣進(jìn)行分析：正弦函數(shù)的值本質(zhì)上是一個“比值”，它是角α的終邊上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與這一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r的比值，因此它是一個數(shù)值；指出由于｜y｜≤r，所以這個比值不超過1，這個比值與點(diǎn)在角的終邊上的位置無關(guān)，這可用相似三角形的原理來說明；這個比值的大小，隨著α的變化而變化，當(dāng)α取某個確定的值，比值也有唯一確定的值與之相對應(yīng)。如此，以函數(shù)概念為基本線索，從中找出了自變量、函數(shù)以及對應(yīng)法則，從而對正弦函數(shù)概念的理解就比較深刻了。經(jīng)過對正弦函數(shù)概念的本質(zhì)屬性分析之后，指出角的終邊上的任意一點(diǎn)P（x，y）一經(jīng)確定，就涉及x，y，r這三個量，任取其中兩個量組成比值，有且僅有六個。因此，基本三角函數(shù)就有六個，從而對三角函數(shù)的外延，就揭示的非常清楚了。

四、掌握概念的符號

用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)學(xué)概念既是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)又是數(shù)學(xué)的優(yōu)點(diǎn)。由于數(shù)學(xué)概念本身就十分抽象，加上用數(shù)學(xué)符號表示，就更加抽象了，因而在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中使學(xué)生真正掌握概念符號的意義是十分重要的。例如，學(xué)生往往將正弦函數(shù)的符號“sin”看成一個數(shù)，從而得出如下的錯誤等式：sin（α+β）=sinα+sinβ。所以在教學(xué)中，要始終給形式符號以具體的內(nèi)容，時刻提醒學(xué)生注意符號的意義及使用符號的條件。

五、重視概念的鞏固

初步形成的概念，鞏固程度差，易受相近概念的干擾，適時利用變式訓(xùn)練有助于糾正學(xué)生的思維偏差。概念鞏固是概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。心理學(xué)原理告訴我們，概念一旦獲得，如不及時鞏固，就會被遺忘。鞏固概念，首先應(yīng)在引入、形成概念后，及時進(jìn)行復(fù)述，以加深對概念的印象。其次應(yīng)重視在發(fā)展中鞏固。第三是通過概念的應(yīng)用來鞏固。概念的應(yīng)用要注意遞進(jìn)的過程，即由初步的，簡單的應(yīng)用，逐步發(fā)展到較復(fù)雜的應(yīng)用。要引導(dǎo)學(xué)生在判斷、推理、證明中運(yùn)用概念，在日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐中運(yùn)用概念，以加深對概念的理解，達(dá)到鞏固概念的目的。例如，教學(xué)對數(shù)的概念后，可以通過以下四類練習(xí)題予以鞏固：

通過這些練習(xí)，可以使學(xué)生逐步學(xué)會運(yùn)用對數(shù)概念進(jìn)行判斷、推理和證明。在運(yùn)用的過程中，加深對對數(shù)概念的理解。

人類的認(rèn)識過程是一個特殊的心理過程，對于數(shù)學(xué)概念的理解和掌握，智力不同的學(xué)生完成這個過程往往有明顯的差異。在教學(xué)中要面向全體學(xué)生出發(fā)，從不同的角度，設(shè)計不同的方法，使學(xué)生對概念作辯證的分析，進(jìn)而認(rèn)識概念的本質(zhì)屬性。例如選擇一些簡單的鞏固練習(xí)來辨認(rèn)、識別，幫助學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵與外延；通過變式或變式圖形，深化對概念的理解；通過新舊概念的對比，分析概念的矛盾運(yùn)動，抓住概念之間的區(qū)別與聯(lián)系來形成正確的概念。只有讓學(xué)生深刻理解并掌握了概念，才能更好的幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的理解能力。

參考文獻(xiàn)

篇（7）

數(shù)學(xué)概念都是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來的，如正負(fù)數(shù)、數(shù)軸、直角坐標(biāo)系、函數(shù)、角、平行線等，都是由于科學(xué)與實(shí)踐的需要而產(chǎn)生的。講清它們的來源與實(shí)物作比較，這樣學(xué)生既不會感到抽象，而且容易形成生動活潑的學(xué)習(xí)氛圍。

（1）注意概念的引出

例如：怎樣用數(shù)表示前進(jìn)3米？后退3米？收入200元與支出200元等這些相反量呢？引出正負(fù)數(shù)的概念；用溫度計、桿稱這些實(shí)物，引出數(shù)軸這個概念；由對不同實(shí)物的分類，引出同類項(xiàng)概念等。首先從對實(shí)物的感受激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，再由抽象的特征濃縮成數(shù)學(xué)概念，學(xué)生容易接受。

（2）注意概念的及時整理

對于概念的引出，要把握好時間度，如過早的下定義，等于是索然無味的簡單灌輸，但定義過遲，學(xué)生容易失去興趣，同時使已有知識呈現(xiàn)零亂狀態(tài)。因此，教師在教學(xué)過程中，要及時整理和總結(jié)，在學(xué)生情緒高漲的時候及時總結(jié)出定義。

（3）注意概念的多角度說明

因?yàn)榻處熖峁┑母行圆牧贤哂衅嫘裕猿Ｔ斐蓪W(xué)生錯誤地擴(kuò)大或縮小概念。因此要從多角度各方面加以補(bǔ)充說明。如“垂線”這個概念，不但要用“”號來表示，而且要用多種特殊圖形和實(shí)物來透視概念的含義。

二、注重刻劃概念的本質(zhì)，對概念進(jìn)行分析。

一個概念在其形成過程中，往往附帶著許多無關(guān)特征。因此教師應(yīng)抓住重點(diǎn)，善于引導(dǎo)學(xué)生，這樣學(xué)生便能把握著概念突現(xiàn)出來的實(shí)質(zhì)，盡量減少乃至消除相關(guān)不利因素的干擾。

（1）講清概念的意義

例如：“不等式的解集”這一概念，抓住“集”這一特征進(jìn)行分析，即不等式所有解的集合。更通俗地說，就是把不等式所有的解集合在一起（象學(xué)生排隊(duì)集合一樣），組成了不等式的解集，最終表示成x>a等形式。只有理解了這個定義，學(xué)生在解決問題的時候，就不會有丟解的現(xiàn)象。

（2）抓住概念中的關(guān)鍵字眼作分析。

例如：“同類項(xiàng)就是含有相同的字母，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)?！边@個概念中，抓住“相同”這一關(guān)鍵字作分析，相同的是什么？是字母和它的指數(shù)

兩部分;“最簡分式”的概念中，抓住“不含公因式”這一關(guān)鍵字眼。只有學(xué)生真正理解了概念，那么在解決問題的時候，才能得心應(yīng)手，不會出現(xiàn)錯誤。

(3)抓住概念間的內(nèi)在聯(lián)系作比較。

對于有內(nèi)在聯(lián)系的概念，要作好比較，加深學(xué)生對概念本質(zhì)的理解。例如：“一元一次方程”的概念，是建立在“元”、“次”、“方程”這三個概念基礎(chǔ)之上的?！霸北硎疚粗獢?shù)，“次”表示未知數(shù)的最高次數(shù)，次數(shù)是就整式而言的，所以“一元一次方程”是最簡單的整式方程。這樣學(xué)生便于抓住“一元一次方程”的本質(zhì)，并為以后學(xué)習(xí)其它方程的概念打下基礎(chǔ)。

再如：“乘方”與“冪”之間的關(guān)系，“直角”與“90°”之間的關(guān)系，“方程的解”與“不等式的解”之間的關(guān)系，“最簡分式”與“最簡根式”之間的關(guān)系等等。做好有內(nèi)在聯(lián)系的概念、相似概念的比較，學(xué)生應(yīng)用起來才會得心應(yīng)手。轉(zhuǎn)貼于

三、注重實(shí)際應(yīng)用概念，對概念進(jìn)行升華。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的目的，就是用于實(shí)踐。因此要讓學(xué)生通過實(shí)際操作去掌握概念，升華概念。概念的獲得是由個別到一般，概念的應(yīng)用則是從一般到個別。學(xué)生掌握概念不是靜止的，而是主動在頭腦中進(jìn)行積極思維的過程，它不僅能使已有知識再一次形象化具體化，而且能使學(xué)生對概念的理解更全面、更深刻。

（1）多角度考察分析概念。

例如，對一次函數(shù)概念的掌握，可通過下列練習(xí)：

① 如果Y=（m+3）X-5 是關(guān)于X的一次函數(shù)，則m=______.

② 如果Y=（m+3）X -5是關(guān)于X的一次函數(shù)，則m=______.

③ 如果Y=（m+3）X +4X-5是關(guān)于X的一次函數(shù)，則m=______.

④ 如果Y= 是關(guān)于X的一次函數(shù)，則m=______.

學(xué)生通過以上訓(xùn)練，對一次函數(shù)的概念及解析式一定會理解。

（2）對于容易混淆的概念，做比較訓(xùn)練。

例如學(xué)生學(xué)習(xí)了矩形、菱形、正方形的概念以后，可做以下練習(xí)：

下列命題正確的是：

① 四條邊相等，并且四個角也相等的四邊形是正方形。

② 四個角相等，并且對角線互相垂直的四邊形是正方形。

③ 對角線互相垂直平分的四邊形是正方形。

④ 對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形。

⑤ 對角線互相垂直平分，且相等的四邊形是正方形。

⑥ 對角線互相垂直，且相等的平行四邊形是正方形。

⑦ 有一個角是直角，且一組鄰邊相等的四邊形是正方形。

⑧ 有三個角是直角，且一組鄰邊相等的四邊形是正方形。

⑨ 有一個角是直角，且一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形。

⑩ 有一個角是直角的菱形是正方形。

教師在設(shè)計練習(xí)的時候，對相似概念一定要抓住它們的聯(lián)系和區(qū)別，通過練習(xí)使學(xué)生真正掌握它們的判定方法和相互關(guān)系。

（3）對個別概念，要從產(chǎn)生的根源去考察：

例如“分式方程的增根”的概念?？蓮漠a(chǎn)生的根源去考察，教學(xué)時設(shè)計下列練習(xí)，讓學(xué)生體會增根的概念：

① 分式方程 的根是 。

篇（8）

在講兩個負(fù)數(shù)比較大小時，聯(lián)系學(xué)生最熟悉的溫度來展開；向?qū)W生提出“元旦這一天，北京的平均氣溫是-9℃，西安的平均氣溫是-5℃，哪個地方的平均氣溫高?”這樣的問題，顯然西安氣溫高，也就是-5＞-9，由于學(xué)生對兩個負(fù)數(shù)比較大小的實(shí)際意義有一定的感知，因而對“兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小”的結(jié)論理解就透徹。

二、利用直觀教具，從感性到理性進(jìn)行教學(xué)。

空間里線、面的垂直、平行關(guān)系，學(xué)生較難接受，如果讓每桌兩個學(xué)生拿一個長方體模型直觀看一看，指一指哪些線、面是垂直的?哪些線、面是平行的?然后抓住本質(zhì)特征說明線、面垂直、平行，使學(xué)生對其含義有清晰的了解。

三、采用對比方法，由此及彼進(jìn)行教學(xué)。

分式教學(xué)中的許多概念可對比分?jǐn)?shù)來引入。如：在小學(xué)里，4除3可以寫成34 ，這里34 叫做分?jǐn)?shù)：在初中代數(shù)里，若A和B都是代數(shù)式，那么AB (B≠0)叫做分式。還如：在小學(xué)里，34 = 3×24×2 = 681018 = 10÷218÷2 = 59在初中代數(shù)里，有

ab = a×mb×mab = a÷mb÷m （m≠0）。

四、巧用特例，逆行概念教學(xué)。

在擴(kuò)充數(shù)集，引入無理數(shù)時，巧用求單位正方形的對角線的長，即求X2=2的解，可引入無理數(shù)、實(shí)數(shù)。又如：在講“垂線段最短”這一性質(zhì)時，抓住在直線外一點(diǎn)到直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段是唯一的這一特例，得出性質(zhì)。

五、注意概念產(chǎn)生的前提條件，準(zhǔn)確把握概念。

不少數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生有一定的前提條件，離開了前提條件，數(shù)學(xué)概念就無從談起，例如講“對頂角”這一概念時，要時刻注意是以兩條直線相交為前提引入的，只有抓住這個前提條件，才能很好地理解對頂角，才能正確運(yùn)用對頂角性質(zhì)。還有平行線的判定公理和定理是以兩條直線被第三條直線所截得到的角為前提的，如果讓學(xué)生注意這一前提，學(xué)生運(yùn)用就會得心應(yīng)手。

六、注意關(guān)鍵字眼，提示本質(zhì)特征。

點(diǎn)到直線的距離是指從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段長度。講這個概念要注意“長度”這個關(guān)鍵字眼，揭示“距離”這一實(shí)質(zhì)。然后舉例說明，“距離”是用數(shù)量來說明的，而不是“圖形”本身。

七、注意動靜結(jié)合，分析概念的矛盾運(yùn)動，掌握相關(guān)概念的內(nèi)在聯(lián)系。

角的概念先是從靜態(tài)角度引入的，接著從運(yùn)動角度把角度看成是一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。這樣從靜止、運(yùn)動兩方面認(rèn)識角，不但有利于學(xué)生認(rèn)識某一具體的角，而且也有利于學(xué)生對銳角、直角、鈍角、平角、周角的理解，從而對角概念能認(rèn)識全面化。

八、注意區(qū)分概念，防止發(fā)生淡化。

數(shù)學(xué)中的概念是很嚴(yán)格的，雖一字之差便往往含義不同，且有概念極易相混淆。如兩數(shù)的平方千口與千口的平方，可引導(dǎo)學(xué)生從下面三方面區(qū)分，一是前者表達(dá)式是a2+b2，后者表達(dá)式是(a+b)2；二是前者運(yùn)算順序先增方后求和，后者先求和，后平方；三是前者結(jié)果是和，后者結(jié)果是冪。

九、把概念教學(xué)與定理、公式教學(xué)融為一體，不斷提高綜合運(yùn)用概念的能力。

篇（9）

數(shù)學(xué)中的論證是由一連串推理組成的，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评韥碓从谡_的判斷，而正確的判斷是依據(jù)概念和應(yīng)用概念進(jìn)行的。因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著極其重要的地位，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的有力杠桿。我們知道，正確地理解數(shù)學(xué)概念是掌握知識的前提，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力必不可少的重要條件。但是，如何進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，怎樣傳授概念教學(xué)的方法，歷來是數(shù)學(xué)教學(xué)十分關(guān)注的熱點(diǎn)之一。根據(jù)自己多年來的本人教學(xué)體會，認(rèn)為教好數(shù)學(xué)概念教學(xué)必須做到“五抓”:

一、抓概念的形成，正確理解概念

在教學(xué)一個新的概念時，首先要注意它是如何形成的，是如何從具體的事物中抽象出來的，此概念的內(nèi)涵（就是概念所反映的本質(zhì)屬性的總和）是什么，它的外延（就是具有概念所反映的本質(zhì)的所有對象的集合）是什么，只有這樣，才能使學(xué)生正確理解概念.例如：“函數(shù)”這一概念定義為：“如果在某個變化過程中有兩個變量x、y，并且對于x在某個范圍的每一個確定的值，按照某個對應(yīng)法則，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，記作y=f(x)”.從定義可以看出，函數(shù)的概念的本質(zhì)屬性有：變量x的取值范圍（定義域），對應(yīng)法則f，每一個確定的x對應(yīng)唯一確定的y值（y值的集合叫值域）.如果聯(lián)系到我們前面學(xué)過的集合A到集合B的單值對應(yīng)（也叫映射），應(yīng)當(dāng)發(fā)現(xiàn)，函數(shù)實(shí)質(zhì)上就是定義域A，值域C以及A到C的對應(yīng)法則f三部分組成的一個特殊的映射.

再如，講授數(shù)列｛an｝的極限是A（即an=A），采用從直觀描述，再由定性到定量，由淺入深地進(jìn)行。（1）數(shù)列｛an｝的極限是A的描述是：當(dāng)自然數(shù)n無限增大時，數(shù)列｛an｝無限趨近A.（2）什么叫數(shù)列｛an｝無限趨于A，就是| an-A|無限趨向于0，即當(dāng)自然數(shù)n無限增大時，| an-A|無限趨近于0.（3）什么叫|an-A|無限趨近于0？就是|an-A|能任意小，即對預(yù)先指定的任意小的正數(shù)ε恒成立，通過對極限由表及里、由淺入深的認(rèn)識，數(shù)列｛an｝的極限A可表述為“無論預(yù)先指定多么小的一正數(shù)ε，都能在數(shù)列中找到一項(xiàng)an，使得這一項(xiàng)后面的所有項(xiàng)與A的差的絕對值都小于ε（即當(dāng)n>N時, | an-A|

二、抓概念的要點(diǎn)，分層次掌握概念

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要注意對概念逐字逐句加以推敲分析，善于剖析每一概念的層次要點(diǎn)，多層次、全方位地啟發(fā)學(xué)生理解概念.例如：“奇函數(shù)”的概念，課本上是這樣寫的：“對于函數(shù)f(x)，如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x).那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù).“那么，這個概念的內(nèi)涵是什么呢？通過深“深摳”，使同學(xué)們認(rèn)識到：（1）對奇函數(shù)來講， x與-x都應(yīng)該在定義域中，即它們的定義域關(guān)于原點(diǎn)必須是對稱的，這是一個隱含條件；（2）對定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)= -f(x),這就是說它的自變量，因變量之間有這樣的一種特定的對應(yīng)規(guī)律，即對于自變量的兩個相反值x與-x，它們對應(yīng)的函數(shù)值f(x)與f(-x)恰好是相反數(shù)；（3）這種特定的對應(yīng)規(guī)律，反映在作圖上，必然是函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.這樣一“摳”就使學(xué)生清楚地認(rèn)識到奇函數(shù)的三條性質(zhì)是從它的定義中引伸出來的，定義和性質(zhì)是源與流的關(guān)系，因與果的關(guān)系.兩者之間不是孤立的、割裂的，這樣一步一步地使學(xué)生正確理解函數(shù)的奇偶性是函數(shù)定義域上的一個整體，而不是局部的性質(zhì).使學(xué)生深刻理解概念理論體系和理論發(fā)展中的科學(xué)價值，從系統(tǒng)上，本質(zhì)上正確掌握概念。

三、抓關(guān)鍵，找本質(zhì)強(qiáng)化概念

概念是對客觀事物本質(zhì)屬性的概括和反映，要正確理解某一概念，必須引導(dǎo)學(xué)生全力找出概念的本質(zhì)，把概念的本質(zhì)屬性向?qū)W生講清楚，切忌讓學(xué)生死記硬背。例如：“橢圓的定義”，課本上是這樣定義的：“平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)（大于兩定點(diǎn)的距離）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓?！蓖ǔ１硎緸闄E圓就是集合；P={M| |MF1|+|MF2|=2a}不少同學(xué)死記這個公式，認(rèn)為只要形式上符合這個公式，則M點(diǎn)的軌跡就是橢圓，認(rèn)為滿足方程|z-i|+|z+i|=2的點(diǎn)z的軌跡是橢圓，事實(shí)上，點(diǎn)z的軌跡是不存在的，因?yàn)槎x要求動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和大于兩定點(diǎn)的距離，即2a>|F1F2|，之所以發(fā)生此類的錯誤，主要原因是學(xué)生沒有掌握概念的本質(zhì)屬性。

再如，集合的概念，課本上是這樣說的：“像這樣，把具有某種屬性的一些對象，看作一個整體，便形成一個集合?！蓖ㄟ^典型的例題分析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)集合的本質(zhì)屬性是：集合的范圍、集合的特征、集合的對象”。而形成集合的元素必須具備以下三點(diǎn)：（1）集合里的元素是確定的，這就是說，任何一個對象或者是這個集合的元素，或者不是這個集合的元素，二者必居其一。（2）集合里的元素是互異的。這就是說，一個集合里的元素都是彼此不同的，即在一個集合里元素不能重復(fù)出現(xiàn)如方程（x-1）2=0的實(shí)數(shù)解的集合里只有一個元素1。（3）集合里的元素是無序的，在一個集合里，通常不考慮它的元素之間的順序，也就是說，集合的元素哪個在前，哪個在后是無關(guān)緊要的，只有讓學(xué)生掌握了概念的本質(zhì)屬性，才能不出現(xiàn)象“花園里好看的花”、“較大的數(shù)”等組成的集合的錯誤。

四、抓變式、舉反例深化概念

數(shù)學(xué)概念大都是從正面闡述的，從而導(dǎo)至教師講解時，機(jī)械地講授數(shù)學(xué)概念，如果在教學(xué)中，在學(xué)生正面認(rèn)識概念的基礎(chǔ)上引導(dǎo)他們從反面或側(cè)面去剖析，那么就可以深化對概念的理解。例如，在講授等比數(shù)列的定義后，可以向?qū)W生提問：“是否存在公比為0的等比數(shù)列？”通過分析討論知道，這種數(shù)列是不存在的。而且學(xué)生可以得到一個新的發(fā)現(xiàn)――等比數(shù)列中的項(xiàng)是不能為0的，至此，學(xué)生對等比數(shù)列的概念加深了了解。

“曲線和方程”的對應(yīng)關(guān)系比較抽象，學(xué)生不易理解，教學(xué)中，可先通過實(shí)例，使學(xué)生弄清曲線和方程的內(nèi)在聯(lián)系，再歸納出曲線和方程的一般關(guān)系。

（1）“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解”闡明曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)，也就是說曲線上所有點(diǎn)都適合這個條件而毫無例外（純粹性）.

（2）“以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”闡明適合條件的所有點(diǎn)都在曲線而毫無遺漏（完備性）

只有具備了上述兩個條件，才能稱為“曲線的方程”和“方程的曲線”，為了使學(xué)生正確理解曲線和方程間的對應(yīng)關(guān)系，可舉實(shí)例從反面加以說明：

過點(diǎn)（2，0）平行于y軸的直線L與方程|x|=2之間的關(guān)系，如圖1直線L上的點(diǎn)只具備條件（1）而不具備條件（2），因此，方程|x|=2不是直線L的方程，直線L也不完全是方程| x|=2的直線，它只是方程|x|=2所表示的圖形(如圖2)的一部分。

例2、到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)軌跡與方程y=x之間的關(guān)系，只具備條件（2），而不具備條件（1），如圖3因?yàn)榈絻勺鴺?biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡有兩條直線L1和L2，直線L1上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程y=x的解，但直線L2上的點(diǎn)（除原點(diǎn)外）的坐標(biāo)就不是方程y=x是直線L1的方程，方程y=x不是所求的軌跡方程，通過上面兩例，使學(xué)生對曲線和方程概念的理解等到了深化。

在教學(xué)中，尋求分式的多變形式，逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維能力，同時也加深了對概念的理解，如對數(shù)tg(α+β)= (tgα+tgβ)/(1- tgαtgβ)可變?yōu)閠gα+tgβ=tg(α+β)?(1- tgαtgβ)也可變?yōu)椋?- tgαtgβ）=(tgα+tgβ)/ tg(α+β)等。

篇（10）

1.學(xué)生偏向具象思維，抽象理解能力不足

數(shù)學(xué)概念是對數(shù)學(xué)現(xiàn)象和數(shù)學(xué)知識的高度概括，學(xué)生理解它需要強(qiáng)大的抽象概括的能力，但小學(xué)生由于年齡較小、生活閱歷不足、形象性思維占主導(dǎo)等因素，抽象概括能力尚有欠缺，需要教師的耐心引導(dǎo)，這是在小學(xué)階段開展數(shù)學(xué)概念教學(xué)的阻礙之一。另外，小學(xué)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)全是由“已知推導(dǎo)未知”，對新概念、新知識的理解和掌握很大一部分取決于學(xué)生對前一部分的相關(guān)概念和知識的理解程度，猶如滾雪球一般越滾越大。但是，由于每個學(xué)生原有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)并不相同，那么他們在“滾雪球”的時候差距就會越拉越大，本身擁有“大雪球”的學(xué)生能輕松地滾出更大的雪球，而只擁有“小雪球”的學(xué)生卻需要耗費(fèi)更多的時間和精力才能滾出同樣大小的雪球。為避免這種失衡，教師要加強(qiáng)對個別只擁有“小雪球”的學(xué)生的引導(dǎo)和訓(xùn)練，盡力避免“一邊倒”的局面。

2.教師不夠重視，概念教學(xué)方法不足

雖然教學(xué)改革已進(jìn)行了很長一段時間，但有些教師的教學(xué)思想陳舊，仍停留在對學(xué)生計算能力和解題能力提升的追求上，而輕視乃至忽視了概念教學(xué)的重要性，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建和理解還停留在死記硬背的階段。大多數(shù)學(xué)生都只是“知其然而不知其所以然”的狀態(tài)，做起題來靈活性很低，自主探究的熱情也不高。不僅如此，一些教師在教學(xué)時只注重單個概念的剖析，卻沒有充分利用概念與概念之間的連續(xù)性和延展性，幫助學(xué)生構(gòu)建概念體系，教學(xué)的效率很低。學(xué)生也沒有經(jīng)歷各概念的形成過程，所以一旦在實(shí)際應(yīng)用中遇到變量的改變可能就會十分茫然，手足無措。教師的觀念在無形中也影響著學(xué)生，使得學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)也不夠重視，缺少抽象思維，學(xué)習(xí)松懈，自主探究能力低下，以致對很多概念模糊不清，問題堆積嚴(yán)重。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本原則

1.直觀性原則

小學(xué)生由于知識和經(jīng)驗(yàn)的不足，尚未形成良好的抽象概括能力，在學(xué)習(xí)過程中更依賴于個人的主觀感受和生活經(jīng)驗(yàn)，所以小學(xué)數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行概念教學(xué)的時候切忌生硬機(jī)械的分析講解，不可脫離實(shí)際的案例和畫面來進(jìn)行教學(xué)。不管是實(shí)物教學(xué)還是多媒體教學(xué)，都是為了多方面刺激學(xué)生的感官，調(diào)動起他們的興趣和學(xué)習(xí)積極性，對知識和概念有一個感性的認(rèn)知，才能在后續(xù)的活動和做題練習(xí)中逐漸完成感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的轉(zhuǎn)變，將對概念的理解轉(zhuǎn)化為解決問題的能力。

2.自主性原則

在素質(zhì)教育和新課標(biāo)的推動下，越來越多的教師和家長開始重視對學(xué)生多項(xiàng)能力的培養(yǎng)，其中自主學(xué)習(xí)和探究能力的培養(yǎng)可以說是各科目老師的重點(diǎn)。因?yàn)樽灾鲗W(xué)習(xí)和探究能力的提升有助于讓學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，對其長遠(yuǎn)發(fā)展有積極的意義。基于此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師首先要改變陳舊的觀念，合理安排課堂“教”與“學(xué)”所占的比例，營造輕松自在的課堂氛圍，給予學(xué)生學(xué)習(xí)的主動權(quán)，以小組合作學(xué)習(xí)的模式加強(qiáng)生生互動，只幫助學(xué)生解決他們自己無法解決的問題，做到“少教多學(xué)”，給學(xué)生更多自由。

3.論與實(shí)踐相結(jié)合的原則

意識指導(dǎo)行為，也來源于現(xiàn)實(shí)，學(xué)習(xí)任何知識都是如此。如果只學(xué)不用，那么一切的意識都將只是紙上談兵，無法在實(shí)踐中去證實(shí)自己的認(rèn)識是否正確；如果只用不學(xué)，那么其能力永遠(yuǎn)都得不到提升，終究會在激烈的競爭中被淘汰。因而在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要堅(jiān)持理論與實(shí)踐相結(jié)合的原則，多多開展相應(yīng)的實(shí)踐活動，為學(xué)生開拓運(yùn)用理論知識的空間和平臺，讓知識去服務(wù)生活，提升學(xué)生對概念類知識的應(yīng)用水平。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的優(yōu)化策略

1.重視引入，讓學(xué)生清楚記住數(shù)學(xué)概念

概念的引入是教師開展后繼教學(xué)的前提，教師要善于找到教材和學(xué)生生活實(shí)際的結(jié)合點(diǎn)，利用故事情境、趣味游戲、設(shè)置懸念等手段引起學(xué)生的注意，喚起學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生通過觀察和思考發(fā)現(xiàn)其中隱藏的數(shù)學(xué)概念，在腦子里形成一個最基礎(chǔ)、最直接的印象。

例如，在學(xué)習(xí)“長度單位”這一課的時候，教師可先利用實(shí)物或多媒體向?qū)W生展示不同長度的線段，如直尺、皮帶、梯子、馬路等，向?qū)W生提問：“這四樣?xùn)|西誰最長呀？”“馬路！”“那它比其他的三樣長多少呢？”教室里一下鴉雀無聲，“長這么多！”一個學(xué)生伸出手臂比劃了一下，大家頓時哄堂大笑。這時又一個聲音說：“得用尺子量了才知道！”這時教師就可以順?biāo)浦蹚摹霸趺戳俊币腴L度單位的教學(xué)，讓學(xué)生充分認(rèn)識到長度單位的重要性，重視這一概念的學(xué)習(xí)。

2.體驗(yàn)過程，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成

每一個公式都有其推導(dǎo)過程，每一個概念的形成也需要一個構(gòu)架的過程，而不是教師直截了當(dāng)?shù)馗嬖V學(xué)生，學(xué)生一字不落地接受，教師若只注重教學(xué)的結(jié)果，而忽視對學(xué)生知識概念形成過程的引導(dǎo)，這對于其今后數(shù)學(xué)思維的形成和自主探究能力的培養(yǎng)是十分不利的，這樣做無異于“撿了芝麻丟了西瓜”。小學(xué)數(shù)學(xué)教師要認(rèn)識到學(xué)生的思維偏向于形象性思維，也要認(rèn)識到學(xué)生的接受能力有限，還要認(rèn)識到數(shù)學(xué)概念并不是孤立存在的，而是像一條鏈子一樣相續(xù)相連的。在此認(rèn)知基礎(chǔ)上，教師要善于發(fā)現(xiàn)課程與課程之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識和經(jīng)驗(yàn)推導(dǎo)出新的知識、構(gòu)建新的概念。

比如，“三角形”的概念就是在學(xué)生已經(jīng)掌握了“角”的概念和性質(zhì)之后才引進(jìn)學(xué)習(xí)的，學(xué)生們雖然在生活中早已經(jīng)接觸了三角形，但對于“銳角”“鈍角”“直角”等數(shù)學(xué)概念還沒有一個明確的認(rèn)識，教師可通過讓學(xué)生自由畫三角形，讓小組討論最先畫的一個角對后畫的兩個角有什么影響和限制，最后慢慢推導(dǎo)出“三角形的內(nèi)角和等于180°”這一性質(zhì)，充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)自主研究性，縮短思維結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的差距，在理解新概念的同時有效地復(fù)習(xí)舊知識，從而牢固掌握各個概念的本質(zhì)，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。

3.強(qiáng)化實(shí)踐，讓學(xué)生應(yīng)用概念解決問題

概念學(xué)習(xí)的最終目的是用來幫助人們解決實(shí)際問題，如果學(xué)生不能夠從多個角度、多個層次去深入理解概念，一旦實(shí)際問題中的一兩個變量與理論學(xué)習(xí)中的案例出現(xiàn)了偏差，或者換一個層面去闡述同一個概念，學(xué)生很可能就會不知所措。因而小學(xué)數(shù)學(xué)教師還有一個重要的任務(wù)就是為學(xué)生營造盡可能多的模擬情境和實(shí)際應(yīng)用空間，讓學(xué)生在諸多的練習(xí)中逐漸深化自己對各概念的理解，在遇到不同情況的時候也能靈活自如地去應(yīng)對。

在“比的應(yīng)用”這一課中，教師就可立足教材布置相應(yīng)的實(shí)踐作業(yè)，發(fā)動學(xué)生在具體可視的活動中去應(yīng)用所學(xué)到的知識，滿足他們的成就感。如讓幾個學(xué)生分為一組，根據(jù)各自的標(biāo)準(zhǔn)制作一份校園地圖。校園都是同樣的校園，但是由于每個小組所用的比例尺不一樣，所以畫出來的圖也不盡相同。這時就可在課上組織學(xué)生評選出大小最適宜、圖示最清楚的一份地圖，共同研究到底在設(shè)置比例尺的時候應(yīng)考慮哪些因素，才能使做出來的圖效果最好。這能幫助學(xué)生達(dá)到深化概念、強(qiáng)化能力的目標(biāo)。